传染病模型

微分方程建模——传染病模型传染病模型目的•描述传染病的传播过程•分析受感染人数的变化规律•预报传染病高潮到来的时刻•预防传染病蔓延的手段•按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型一、微分方程建模•在研究实际问题时，常常会涉及到某些变量的变化率或导数问题，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求解微分方程。•求解微分方程有三种方法：1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。建立微分方程模型的方法（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。二、问题重述•问题:有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。•1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。•2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为。单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。mx•3、现有卫生防疫部门采集到的某地区一定时间内一定间隔区间的感染人数数据（见下表），利用该数据确定上述两个模型中的相关参数，并将它们的预测值与实际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并对两个模型进行适当的评价。（注：该问题中，设最大可感染人数为2000人）•4、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。三、问题分析•1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。•2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。•3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。三、问题求解•3.1、问题1的解答——模型一•A、模型假设•1)、感染人数是时间的连续可微函数；•2)、单位时间内感染人数的增长率是常数，或单位时间内感染人数的增长量与当时的感染人数成正比。•B、模型构成•设t时刻的感染人数为，初始时刻()的感染者人数为，感染者的增长率为r，根据单位时间内感染人数的增长率是常数的假设，t到时间内感染人数的增量为：•因此，满足如下的微分方程：()xt0xtt()()()xttxtrxtt()xt0t0,(0)dxrxdtxx•C、模型求解•这是一个线性常系数微分方程，容易求得其解为：•D、模型分析•由上述解的形式，可以看出，感染人数将随着时间的增长按指数规律无限增长。特别地，当时间趋向于无穷时，感染人数也将趋向于无穷大。这显然是不符合现实的，说明该模型不可能用于传染病的长期预报，同时也说明迫切需要对该模型进行必要的修正。00()(1)rttxtxexr•E、改进方向•单位时间内感染人数的增长率不是常数，而是逐渐下降的。原因：感染人数增长到一定数量后，环境条件、人口总数等因素将对感染者数量的增长起阻滞作用，且阻滞作用随感染者数量增加而变大。增长率是感染人数的减函数：感染者越多，增长率越低。•3.2、问题2的解答——模型二•A、模型假设•1)、感染人数是时间的连续可微函数；•2)、感染人数受环境条件的限制，有一个最大的可感染人数。•3)、单位时间内感染人数的增长率和感染人数有关，是其线性函数，最大感染时对应增长率为零。mx•B、模型构成•仍然设t时刻的感染人数为，初始时刻()的感染者人数为，感染者人数为0时，感染人数的增长率为。根据单位时间内感染人数的增长率和感染人数有关，是其线性函数的假设，可得增长率关于感染者人数的线性函数关系式：()xt0x0t0r0()rxrkx•进一步，由最大感染时对应的增长率为零可确定参数k的值为：•因此，在该模型的假设下，感染人数应满足如下的微分方程：0mrkx()xt00()(1),(0)mdxxrxxrxdtxxx•C、模型求解•这是一个非线性微分方程，利用微分方程中的分离变量法，求得其解为：00()11mrtmxxtxex•D、模型分析•a)、根据前述微分方程作出dx/dt~x的曲线图，见图1-1，这是一条抛物线。由该图可看出感染人数增长率随感染人数的变化规律：增长率随着感染人数的增加而先增后减，在xm/2时达到最大。这预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注和需要密切注意的时刻。因为感染人数增长率在一定程度上代表了医疗卫生水平，增长率越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。•b)、根据模型求解得到的结果作出x~t曲线，见图1-2，这是一条S型曲线。由该图可看出感染人数随时间的变化规律：可以看出，当时间趋于无穷时，x(t)趋于xm，且对一切t，x(t)xm。此性质说明感染者数量不可能达到最大容量，但可无限趋近于最大容量。3.3、问题3的解答—两个模型的分析比较•将问题所给出表中t=0时刻和t=1时刻的数据代入所建立的两个模型中，确定模型中的未知参数r和，然后再利用它们得到t=2到t=14时刻的仿真数据，进一步地可以得到两个模型的仿真误差百分比。两个模型的仿真效果和性能可以从下面的表和图中清晰地看出。0r3.3.1实际感染人数与按两个模型计算的感染人数的比较表3.3.2实际感染人数与按两个模型计算的感染人数的比较图3.3.3、性能分析•从上述图和表中，可以得出如下结果和结论：•1、在传染病传播的初期(t=0到t=7)，采用两个模型都能得到很好的仿真结果；•2、在传染病传播的后期(t=8到t=14)，采用第二个模型仍能得到很好的仿真结果，而采用第一个模型得到的结果则和真实结果有较大的偏差；3.3.4、两个模型的评价•1、通过上述分析说明，第一个模型用于短期感染者估计有较好的近似效果，但不能用于传染病的长期预报；第二个模型较为符合实际情况。•2、同时说明，感染者人数的增长率并不是一个常数，而受到环境等条件的制约，是变化的、递减的。•3、在模型二中，为了简便，我们给出了较准确的最大可感染人数估计；实践中，这个参数是不易准确得到的(可通过数据拟合)，错误的参数估计会极大地影响该模型的性能，这也是该模型的一个缺点之一。•4、这两个模型都是确定性的连续时间模型；为了使预报更准确，可以进一步地发展随机性模型和离散时间模型。3.4、问题4的解答——模型三•A、模型假设•1)、总人口可分为传染病患者和易感染者，患病者和易感人数都是时间的连续可微函数。•2)、假设易感染者因与患病者接触而得病，患病率为；而患病者会因治愈而减少，治愈率为。•3）、患病者治愈后对该传染病具有免疫功能，不再成为易感染者。•B、模型构成•设t时刻的患病者和易感者人数分别为和，初始时刻(t=0)的患病者和易感者人数分别为和。根据单位时间内患病率和治愈率的假设，可得到单位时间内传染病人数的增量为,治愈人数为。因此可建立如下的模型：()xt()yt0x0yxyx00,0(0),(0)dxxyxdtdyxydtxxyy、•C、模型求解与分析•这是一个含两个因变量的微分方程组，该方程组无法求得和的解析解。因此，我们转到相平面上来讨论解的性质。()xt()yt0011yydxdyyxx0001()()lnyxyyxyy/消去dt{(,)0,0,1}Dyxyxyx相轨线的定义域()xy相轨线11yx0D在D内作相轨线的图形，进行分析()xy00,0(0),(0)dxxyxdtdyxydtxxyy、相轨线•定义•对于二维情形，若微分方程•dx/dt=P(t,x,y)•dy/dt=Q(t,x,y)•满足初始条件x(t0)=x0,y(t0)=y0的解为•x=x(t)•y=y(t)•则该组解在xOy平面上（相平面）所描绘的曲线就是相轨线。•通俗解释•若有两个函数变量x(t)和y(t)，绘出的y(x)曲线就是相轨线yx101D相轨线及其分析()xy0001ln0yyyxyy满足1/,myxx传染病蔓延传染病不蔓延y(t)单调减相轨线的方向,0txP1y0/1xmyP1:y01/σx(t)先升后降至0P2:y01/σx(t)单调降至01/σ~阈值P3P4P2y00001()()lnyxyyxyy预防传染病蔓延的手段α(患病率)卫生水平β(治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——y01/•降低y0•提高阈值1/降低(=α/β)α,β群体免疫