大学物理课课件第3章-刚体的定轴转动

本章题头本章内容ContentsChapter3运动学刚体的定轴转动机械能守恒定律角动量守恒定律kinematicsrotationofrigid-bodywithafixedaxislawofconservationofmechanicalenergylawofconservationofangularmomentum刚体力学习题●练习7刚体运动学、转动惯量●练习8刚体转动定律●练习9转动的功和能、刚体角动量Kinematics3-1第1节运动学刚体及其平动形状固定的质点系（含多个质点、不形变、理想固体）。刚体平动刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的相同，可当作质点处理。刚体定轴转动刚体的定轴转动刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且该转轴空间位置及方向不变。平动刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的相同，可当作质点处理。定轴转动刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且转轴空间位置及方向不变。平面运动刚体质心限制在一平面内，转轴可平动，但始终垂直于该平面且通过质心定点运动刚体上各质点都以某一定点为球心的各个球面上运动。一般运动复杂的转动与平动的混合。刚体其它运动定轴转动物理量刚体定轴转动的运动方程用矢量表示或时，它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则1.角位置描述刚体（上某点）的位置2.角位移描述刚体转过的大小和方向刚体转轴转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)参考方向刚体中任一点(t+△t)3.角速度静止常量匀角速变角速描述刚体转动的快慢和方向，常量是转动状态量。刚体定轴转动的运动方程用矢量表示或时，它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则1.角位置描述刚体（上某点）的位置2.角位移描述刚体转过的大小和方向刚体转轴转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)参考方向刚体中任一点(t+△t)3.角速度静止常量匀角速变角速描述刚体转动的快慢和方向，常量是转动状态量。续描述刚体转动状态改变4.角加速度的快慢和改变的方向常量匀角加速匀角速变角加速常量因刚体上任意两点的距离不变，故刚体上各点的相同。定轴转动的只有同和反两个方向，故也可用标量（其中的正和负表方向）代替。定轴转动参量刚体转轴1.角位置转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)(t+△t)参考方向刚体中任一点刚体定轴转动的运动方程2.角位移3.角速度常量静止匀角速变角速4.角加速度变角加速常量匀角加速匀角速用矢量表示或时，它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则转动方程求导例题单位：rad-1rads-2radsrad50p51p52p53p1radstsrad100p150pst50pp2radstsp-1rads-2rads匀角加速定轴转动线量与角量的关系定轴转动刚体在某时刻t的瞬时角速度为，瞬时角加速度为，刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P的大小瞬时线速度瞬时切向加速度瞬时法向加速度这是定轴转动中线量与角量的基本关系积分求转动方程任意时刻的恒量且t=0时得得或匀角加速定轴转动的角位移方程匀角加速定轴转动的运动方程公式对比质点直线运动或刚体平动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度位移角位移匀速直线运动匀角速定轴转动匀变速直线运动匀变角速定轴转动第2节刚体定轴转动动力学RotationofRigid-bodywithaFixedAxis3-2刚体转动定律引言质点的运动定律或刚体平动F=ma惯性质量合外力合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？主要概念使刚体产生转动效果的合外力矩刚体的转动定律刚体的转动惯量FrM叉乘右螺旋M=r×F222M=rFsinj222大小2r2=2Ftd2=2F合外力矩外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动M=r×F111力矩1Ft1M2M1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ftr11Ftr1=1FtM=rFsinj111大小1d1=1Fj1d1r1F1P1OF2r22FtP2j2d2方向转动定律某质元fi受内力受外力FiFi+f=aii其法向n分量均通过转轴，不产生转动力矩。t其切向投影式为ijFisin+ifcosqit=ai=ribtnFiOrifiijqi瞬时角速度角加速度瞬时等式两边乘以ri并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifcosqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbri∑得Mbri∑=某质元fi受内力受外力FiFi+f=aii其法向n分量均通过转轴，不产生转动力矩。t其切向投影式为ijFisin+ifsinqit=ai=rib等式两边乘以ri并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbri∑得Mbri∑=与刚体性质及质量分布有关的物理量，用表示称为转动惯量I转动惯量tnFiOrifiijqi瞬时角速度角加速度瞬时Mbri∑=刚体的转动定律即刚体所获得的角加速度的大小与刚体受到的合外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比。转动惯量的计算Mb=I将刚体转动定律与质点运动定律F=am对比转动惯量是刚体转动惯性的量度II∑与刚体的质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关质量连续分布的刚体用积分求I为体积元处的密度II的单位为分立质点的算例可视为分立质点结构的刚体转轴若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则∑转轴∑0.75直棒算例质量连续分布的刚体匀直细杆对中垂轴的匀直细杆对端垂轴的质心新轴质心轴平行轴定理对新轴的转动惯量对质心轴的转动惯量新轴对心轴的平移量例如：时代入可得端圆盘算例匀质薄圆盘对心垂轴的取半径为微宽为的窄环带的质量为质元球体算例匀质实心球对心轴的可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量的迭加距为、半径为、微厚为的薄圆盘的转动惯量为其中常用结果LRmm匀质薄圆盘匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面22I=mR123I=mL1转轴通过端点与棒垂直其它典型匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I=(a+b)22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面I=mR2匀质细圆环转轴沿着环的直径2I=2mR匀质厚圆筒转轴沿几何轴I=(R1+R2)22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI=R+22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2I=2mR3转动定律例题一合外力矩应由各分力矩进行合成。合外力矩与合角加速度方向一致。在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为负。与时刻对应，何时何时则何时，则何时恒定恒定。匀直细杆一端为轴水平静止释放转动定律例题二T1T2a（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑T2T1G1G2T2T1aabT1–m1g=m1am2g–T2=m2a(T2–T1)R=Iba=RbI=mR22转动平动线-角联立解得a=m1m1+m2+gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考虑有转动摩擦力矩Mr,则转动式为(T2–T1)R–Mr=Ib再联立求解。转动定律例题三Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度b细绳线加速度a（A）（B）转动定律例题四Rm1m2mm=12kgm2=1kgm1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2baa对m1m2m分别应用和质点运动和刚体转动定律m1g–T1=m1aT2–m2g=m2a(T1–T2)R=Ib及a=RbI=mR221得b=(m1-m2)gR(m1+m2+m2)常量(m1-m2)gR(m1+m2+m2)故由(m1-m2)gR(m1+m2+m2)2(rad)gt物体从静止开始运动时，滑轮的转动方程转动定律例题五qq从等倾角处静止释放两匀直细杆地面两者瞬时角加速度之比213q1q1321根据短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关第3节机械能守恒定律LawofConservationofMechanicalEnergy3-3转动动能∑刚体中任一质元的速率该质元的动能对所有质元的动能求和∑转动惯量II得含平动的转动问题机械外非保守内力动势动势平动转动平动转动mImgh动能定理例题二外力作的总功从水平摆至垂直由得代入得本题利用的关系还可算出此时杆上各点的线速度水平位置静止释放摆至垂直位置时杆的匀直细杆一端为轴第4节角动量守恒定律lawofconservationofangularmomentum3-4角动量定理角动量定理（微分形式）（积分形式）定轴转动刚体的角动量所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动任一质元（视为质点）的质量其角动量大小全部质元的总角动量∑∑对质量连续分布的刚体∑定轴转动刚体的角动量是刚体所有质点对公共转轴的角动量的叠加刚体的角动量守恒定律由所受合外力矩若则即当刚体所受的合外力矩等于零时，刚体的角动量保持不变。角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂大小花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂大小花样滑冰收臂大小张臂大小先使自己转动起来收臂大小共轴系统的角动量守恒共轴系统若外则恒矢量轮、转台与人系统轮人台初态全静初人沿某一转向拨动轮子轮末态人台轮轮末人台人台初得人台人台轮轮导致人台反向转动直升飞机防旋措施直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（支奴干CH47)用尾浆（美洲豹SA300）（海豚Ⅱ）守恒例题一A、B两轮共轴A以wA作惯性转动以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。初态角动量末态角动量得两轮啮合后一起作惯性转动的角速度wAB守恒例题二以弹、棒为系统击入阶段子弹击入木棒瞬间，系统在铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。该瞬间之始该瞬间之末弹棒弹棒子弹木棒上摆阶段弹嵌定于棒内与棒一起上摆，非保守内力的功为零，由系统动能定理外力（重力）的功外上摆末动能上摆初动能其中联立解得守恒例题三满足什么条件时，小球（视为质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而小球恰好静止。直棒起摆角速度匀质直棒与单摆小球的质量相等两者共面共转轴水平静止释放静悬弹碰忽略摩擦联立解得0.5771.861对摆球、直棒系统小球下摆阶段从水平摆到弹碰即将开始，由动能定理得其中球、棒相碰瞬间在铅垂位置，系统受合外力矩为零，角动量守恒。刚要碰时系统角动量刚碰过后系统角动量球棒球棒弹碰阶段弹碰过程能量守恒