小六奥数经典数论习题附答案

1、在小于5000的非0自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有个。【详解】：小于5000的自然数：一位数、两位数、三位数、四位数被11整除的非0自然数分类两位数：11、22、……990个(a+c)+b=1312ac三位数：设这个三位数为abc(a+c)-b=111b有913，814，715，616，517，418，3197个(a+c)+(b+d)=13(b+d)-(a+c)=13四位数：设这个四位数为abcd或（ac)(bd)11(bd)(ac)1112ac1ac或1bd12bd注意：a﹤5有4+7=11个以上几类共：7+11=18个2、如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少?【详解】1053751992□□被3、7、5同时整除所求数字在末位试除法解题过程：1053751992□□被3、7、5同时整除别急着先看被3整除被5整除更好判断被5末位只能为0或5①如果末位填入01992□021□要求被3整除□=9要求被7整除②如果末位填入51+9+9+2+□+5=26+□要求被3整除不可能要求被7整除1992□□=199290（试除法）设1992□□=1992001992001051897......15□□填上(10515)901992□□=199290设1992□□=199299199299÷105=1898……9□□填上(99-9)901992□□=1992903、请用1，2，5，7，8，9这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？【详解】因为75325，若被3整除，则各位数字和是3的倍数，12578932，所以应该去掉一个被3除余2的，因此要么去掉2要么去掉8，先任给一个去掉8的，17925即满足要求⑴若去掉8．则末2位要么是25要么是75，前3位则任意排，有3!6（种）排法因此若去掉8则有2612（个）满足要求的数⑵若去掉2．则末2位只能是75，前3位任意排，有6种排法，所以有6个满足要求．综上所述，满足要求的五位数有18个．4、两个四位数275A和275B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B.【详解】考虑到7289，而275A是奇数，所以275B必为8的倍数，因此可得2B；四位数2752各位数字之和为275216不是3的倍数也不是9的倍数，因此275A必须是9的倍数，其各位数字之和27514AA能被9整除，所以4A.5、用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它们能被168整除，这个六位数是多少？【详解】16822237，由于这个六位数被8整除，后三位只能是688，768或者776三种情况，分别检验这个六位数被7除的情况可知，只有768768满足要求.6、一个四位数各位数字之和是18，又能被251整除，这个四位数是．【详解】注意发现题目中隐含的数量关系．由于这个四位数各位数字之和是18，能被9整除，所以这个四位数也能被9整除，而它又能被251整除，所以它能被9,2512259整除，也就是说这个四位数是2259的倍数．四位数中2259的倍数有2259，4518，6777，9036，其中2259，4518，9036都满足条件。7、有一个四位数，当它被131除时，余数是112；当它被132除时，余数是98。这个四位数是多少?分析与解答：因为第一次除131余数为112，第二次除132余数为98132比131只大1，所以得知商相等，设为x则131x+112=132x+98x=14代回，14*131+112=19468、有4个不同的数字可共组成18个不同的4位数。将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是完全平方数，倒数第二个也是完全平方数。那么这18个数的平均数是多少?【详解】（1）由4个不同的数字可以构成：4*3*2*1=24个不同的4位数，只能构成18个4位数说明含有一个数字“0”，即：3*3*2*1=18。（2）这些4位数中，最小的为a0bc,次大的为cb0a（其中0abc）。（3）完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，令c=9，则b必须为偶数（试取8），a取1（1+0+8+9=18→9，☆完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9），得：1089=33的平方，9801=99的平方（4）平均数的千位数：（1+8+9）*6/18=6百、十、个位数：(1+8+9+0)*4/18=4所求：64449、在1至400的整数中，被3、5、7除都余2的数共有多少个分析与解答：3,5,7的最小公倍数为：3×5×7=105被3,5,7除，都余2的数，最小为：105+2=107107+105=212212+105=317317+105=422400所以1--400，满足要求的数，一共有3个10、720的所有约数的倒数之和是多少？【详解】：因为720=2×2×2×2×3×3×5=2^4×3^2×5^1所以720的约数之和为（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4）×（3^0+3^1+3^2）×（5^0+5^1）=31×13×6所以720的所有约数的倒数之和是31×13×6/720=403/120