2020立体几何多选题(一)

试卷第1页，总25页2020立体几何多选题（一）1．【2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，60DAB，侧面PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD，则下列说法正确的是（）A．在棱AD上存在点M，使AD平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角PBCA的大小为45°D．BD平面PAC【答案】ABC【解析】如图，对于A，取AD的中点M，连接,PMBM，∵侧面PAD为正三角形，PMAD，又底面ABCD是菱形，60DAB，ABD是等边三角形，ADBM，又PMBMM，PM，BM平面PMB，AD平面PBM，故A正确.对于B，AD平面PBM，ADPB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确.对于C，∵平面PBC平面ABCDBC，//BCAD，BC平面PBM，BCPBBCBM，PBM是二面角PBCA的平面角，设1AB，则32BM，32PM，在RtPBM△中，tan1PMPBMBM，即45PBM，故二面角PBCA的大小为45°，故C正确.对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误.故选：ABC2．【山东省青岛市2020届高三第三次模拟】在如图所示的棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点P在侧面11BCCB所在的平面上运动，则下列命题中正确的（）试卷第2页，总25页A．若点P总满足1PABD，则动点P的轨迹是一条直线B．若点P到点A的距离为2，则动点P的轨迹是一个周长为2的圆C．若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D．若点P到直线AD与直线1CC的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线【答案】ABD【解析】A.在正方体1AC中，1,ACBDBB平面ABCD，所以11,BBACBBBDB，所以AC平面11BBDD，1BD平面11BBDD，所以1ACBD．同理111,ABBDABACA，所以1BD平面1ABC，而点P在侧面11BCCB所在的平面上运动，且1PABD，所以点P的轨迹就是直线1BC，故A正确；B.点P的轨迹是以A为球心，半径为2的球面与平面11BCCB的交线，即点P的轨迹为小圆，设小圆的半径为r，球心A到平面11BCCB的距离为1，则2211r，所以小圆周长22lr，故B正确；C.点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，即平面11BCCB内的点P满足1PBPCBC，即满足条件的点P的轨迹就是线段BC，不是椭圆，故C不正确；D.如图，过P分别做PMBC于点M，1PECC于点E，则PM平面ABCD，所以PMAD，过M做MNAD，连结PN，PMMNM，所以AD平面PMN，所以PNAD^，如图建立平面直角坐标系，设,Pxy，试卷第3页，总25页PMy，则221PNy，221PEx，即2211yx，整理为：2211xy，则动点P的轨迹是双曲线，故D正确.故选：ABD3．【2020届天一大联考海南省高三年级第三次模拟】如图，四棱锥PABCD中，平面PAD底面ABCD，PAD△是等边三角形，底面ABCD是菱形，且60BAD，M为棱PD的中点，N为菱形ABCD的中心，下列结论正确的有（）A．直线PB与平面AMC平行B．直线PB与直线AD垂直C．线段AM与线段CM长度相等D．PB与AM所成角的余弦值为24【答案】ABD【解析】如图，连接MN，易知//MNPB，由线面平行的判定定理得//PB面AMC，A正确．在菱形ABCD中，60BAD，BAD为等边三角形.设AD的中点为O，连接OB，OP，则OPAD，OBAD，由线面垂直的判定定理得出AD平面POB，ADPB，B正确．平面PAD平面ABCD，由面面垂直的性质可得POB为直角三角形．设4AD，则23OPOB，26PB，162MNPB．在MAN△中，23AMAN，6MN，可得2cos4AMN，故异面直线PB与AM所成角的余弦值为24．在MAN△中222AMANMN，则ANM不是直角，则AMC不是等腰三角形，即AM与CM长度不等，试卷第4页，总25页故C错误，D正确．故选：ABD4．【山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（二)】对于不同直线m，n和不同平面，，有如下四个命题，其中正确的是（）A．若m，//n，mn，则//B．若m，//mn，n，则C．若n，n，m，则mD．若m，mn，则//n【答案】BC【解析】选项A.若m，//n，mn，则与可能相交可能平行，故A不正确.选项B.若m，//mn，则n，又n，所以，故B正确选项C.若n，n，则//，又m，所以m，故C正确选项D.若m，mn，则//n或n，故D不正确.故选：BC5．【2020届山东省临沂市费县高三上学期期末】如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，动点E在线段11AC上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）试卷第5页，总25页A．11//FMACB．BM平面1CCFC．存在点E，使得平面//BEF平面11CCDDD．三棱锥BCEF的体积为定值【答案】ABD【解析】在A中,因为,FM分别是,ADCD的中点,所以11////FMACAC,故A正确;在B中,因为tan2BCBMCCM,tan2CDCFDFD,故BMCCFD,故2BMCDCFCFDDCF.故BMCF,又有1BMCC,所以BM平面1CCF,故B正确；在C中,BF与平面11CCDD有交点,所以不存在点E,使得平面//BEF平面11CCDD,故C错误.在D中,三棱锥BCEF以面BCF为底,则高是定值,所以三棱锥BCEF的体积为定值,故D正确.故选：ABD.6．【山东师范大学附属中学2020届高三最后一卷】已知正方体1111ABCDABCD棱长为2，如图，M为1CC上的动点，AM平面.下面说法正确的是（）A．直线AB与平面所成角的正弦值范围为32,32B．点M与点1C重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大试卷第6页，总25页C．点M为1CC的中点时，若平面经过点B，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D．己知N为1DD中点，当AMMN的和最小时，M为1CC的中点【答案】AC【解析】对于A：以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则点2,0,0A、2,2,0B、设点0,2,02Maa，AM平面，则AM为平面的一个法向量，且2,2,AMa，0,2,0AB，224232cos,,32288ABAMABAMABAMaa，所以，直线AB与平面所成角的正弦值范围为32,32，A选项正确；对于B：当M与1CC重合时，连接1AD、BD、1AB、AC，在正方体1111ABCDABCD中，1CC平面ABCD．BDQ平面ABCD，1BDCC．四边形ABCD是正方形，则BDAC．1CCACC，BD平面1ACC．1ACQ平面1ACC，1ACBD．同理可证11ACAD．1ADBDD，1AC平面1ABD，易知1ABD是边长为22的等边三角形，其面积为12322234ABDS△，周长为22362．设E、F、Q、N、G、H分别为棱11AD、11AB、1BB、BC、CD、1DD的中点，试卷第7页，总25页易知六边形EFQNGH是边长为2的正六边形，且平面//EFQNGH平面1ABD，正六边形EFQNGH的周长为62，面积为2362334，则1ABD的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，B选项错误；对于C选项，设平面交棱11AD于点,0,2Eb，点0,2,1M，2,2,1AM，AM平面，DE平面，AMDE，即220AMDEb，得1b，1,0,2E，所以，点E为棱11AD的中点，同理可知，点F为棱11AB的中点，则2,1,2F，1,1,0EF，而2,2,0DB，12EFDB，//EFDB且EFDB．由空间中两点间的距离公式可得2222015DE，2222212205BF，DEBF，所以，四边形BDEF为等腰梯形，C选项正确；对于D选项，将矩形11ACCA与矩形11CCDD延展为一个平面，如下图所示：试卷第8页，总25页若AMMN最短，则A、M、N三点共线．11//CCDD，2222222MCACDNAD，11222MCCC，所以，点M不是棱1CC的中点，D选项错误．故选：AC．7．【山东省济南市2020届高三6月针对性训练（仿真模拟)】如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，P为线段1BC上的动点，下列说法正确的是（）A．对任意点P，//DP平面11ABDB．三棱锥11PADD的体积为16C．线段DP长度的最小值为62D．存在点P，使得DP与平面11ADDA所成角的大小为π3【答案】ABC【解析】由题可知，正方体的面对角线长度为2，对于A：分别连接1CD、BD、11BD、1AB、1AD，易得平面1//CDB平面11ABD，DP平面1CDB，故对任意点P，//DP平面11ABD，故正确；对于B：分别连接PA、1PD，无论点P在哪个位置，三棱锥11PADD的高均为1，底面11ADD的面积为12，所以三棱锥11PADD的体积为1111326，故正确；对于C：线段DP在1CBD中，当点P为1BC的中点时，DP最小，此时1DPBC^，在RtBPD△中，试卷第9页，总25页222226222DPBDPB，故DP的最小值为62，故正确；对于D：点P在平面11ADDA上的投影在线段1AD上，设点P的投影为点Q，则PDQ为DP与平面11ADDA所成的角，sinPQPDQPD，1PQ，而622PD，所以DP与平面11ADDA所成角的正弦值的取值范围是26,23，而36sin323，所以不存在点P，使得DP与平面11ADDA所成角的大小为π3，故错误.故选：ABC.8．【山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷（二)】如图，在矩形ABCD中，2,ABADE为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻转成1ADE△(1A平面ABCD).若,MO分别为线段1,ACDE的中点，则在ADE翻转过程中，下列说法正确的是（）A．与平面1ADE垂直的直线必与直线BM垂直B．异面直线BM与1AE所成的角是定值C．一定存在某个位置，使DEMOD．三棱锥1AADE外接球半径与棱AD的长之比为定值【答案】ABD【解析】对于A：取DC中点N，连接,MNNB.M为1AC的中点，1//MNAD．又E为AB试卷第10页，总25页的中点，//DNEB且DNEB，∴四边形BNDE为平行四边形，//NBDE.1,ADDEDMNNBN∩∩，∴平面//MNB平面1,//ADEMB平面1ADE，∴与平面1ADE垂直的直线必与直线BM垂直，故A正确；对于B：取1AD的中点为F，连接,MFEF，则//MFEB且MFEB，∴四边形BEFM是平行四边形，1//,BMEFAEF为异面直线BM与1AE所成的角.设1AD，则22ABAD，1111111,,tan22ADAEAFAEF，故异面直线BM与1AE所成的角为定值，故B正确.对于C：连接1AO.1ADE为等腰直角三角形且O为斜边DE中