高中数学-离散型随机变量的方差

第二章2.32.3.2离散型随机变量的方差把握热点考向应用创新演练考点一考点二理解教材新知考点三2．3.2离散型随机变量的方差A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10问题1：试求E(X1)，E(X2)．提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？提示：不能，因为E(X1)＝E(X2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？提示：样本方差．1．离散型随机变量的方差(1)设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率分别为p1，p2，…，pn，则D(X)＝叫做这个离散型随机变量的方差．D(X)的叫做离散型随机变量X的标准差．(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn算术平方根DX(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值相对于期望的．方差或标准差越小，则随机变量偏离于期望的平均程度越小．2．二点分布和二项分布的方差条件X服从二点分布X～B(n，p)方差平均波动大小p(1－p)np(1－p)1．离散型随机变量的方差的意义的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中和离散程度．D(X)越小，稳定性越高，波动越小．2．随机变量的方差和样本方差之间的关系(1)随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而客观存在；(2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．[例1]设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q的值，并求E(X)，D(X).X－101P121－2qq2[思路点拨]先根据分布列的性质求出q，再用公式求期望和方差．[自主解答]根据离散型随机变量的分布列的性质，得：12＋1－2q＋q2＝1，0≤1－2q≤1，q2≤1.解得q＝1－22.故X的分布列为X－101P122－132－2所以E(X)＝(－1)×12＋0×(2－1)＋1×32－2＝－12＋32－2＝1－2.D(X)＝[－1－(1－2)]2×12＋[0－(1－2)]2×(2－1)＋[1－(1－2)]2×32－2＝(2－2)2×12＋(2－1)3＋2×32－2＝3－22＋52－7＋3－22＝2－1.[一点通]已知分布列求离散型随机变量的方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可．1．已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，则n与p的值分别是()A．n＝100，p＝0.08B．n＝20，p＝0.4C．n＝10，p＝0.2D．n＝10，p＝0.8解析：由于X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6.所以np＝8，np(1－p)＝1.6，解之得n＝10，p＝0.8.答案：D2．设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(1－p)kp1－k(k＝0,1)，则E(X)、D(X)的值分别是()A．0和B．p和p2C．p和1－pD．1－p和p(1－p)解析：随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(1－p)kp1－k(k＝0,1)，则P(X＝0)＝p，P(X＝1)＝1－p，所以E(X)＝0×p＋1×(1－p)＝1－p，所以D(X)＝[0－(1－p)]2×p＋[1－(1－p)]2×(1－p)＝p(1－p)．答案：D[例2]袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．[思路点拨]确定随机变量X的取值，列出其分布列，再计算均值和方差．[精解详析]由题意可知，X＝5,4,3.P(X＝5)＝C22C14C36＝15；P(X＝4)＝C12C24C36＝35；P(X＝3)＝C34C36＝15.故X的分布列为X543P153515E(X)＝5×15＋4×35＋3×15＝4.D(X)＝(5－4)2×15＋(4－4)2×35＋(3－4)2×15＝25.[一点通](1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列．(2)在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件，相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算．3．(2012·全国新课标改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差．解：(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80；当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80.所以y关于n的函数解析式为y＝10n－80，n＜16，80，n≥16.(n∈N)．(2)X可能的取值为60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．(1)求X的分布列；(2)求X的均值和方差；(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．解：(1)X的可能的取值为0,1,2，P(X＝k)＝Ck2C3－k4C36，k＝0,1,2.X的分布列为X012P153515(2)由(1)得，X的均值与方差为E(X)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.D(X)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(1－2)2×15＝25.(3)由(1)知，“所选3人中女生人数X≤1”的概率为P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝45.[例3](10分)从甲、乙两运动员中选一人参加2012年伦敦夏季奥运会，以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为：X1(甲得分)012P(X1＝xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2＝xi)0.30.30.4欲从甲、乙两运动员中选一人参加2012年伦敦夏季奥运会，你认为选派哪位运动员参加较好？[思路点拨]可以先比较两运动员的平均得分(即均值)，再比较两运动员的稳定性，即方差，由此决定派谁．[精解详析]由题意，E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1.∴E(X1)＝E(X2)．(4分)D(X1)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49，D(X2)＝(0－1.1)2×0.3＋(1－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.4＝0.69，∴D(X1)D(X2)，(8分)，所以甲运动员的技术好一些，应选派甲参加．(10分)[一点通]离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．5．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)D(X2)，则自动包装机________的质量较好．解析：因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)D(X2)，故乙包装机的质量稳定．答案：乙6．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：分数X8090100概率P0.20.60.2乙：试分析两名学生的成绩水平．分数Y8090100概率P0.40.20.4解：∵E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，∴E(X)＝E(Y)，D(X)D(Y)，∴甲与乙的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲的学习成绩较稳定．1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解．2．如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，可直接用它们的均值、方差公式计算．点击下图进入“应用创新演练”