第2讲-拉普拉斯变换

第二讲第二讲第二讲第二讲拉普拉斯变换的数学方法拉普拉斯变换的数学方法拉普拉斯变换的数学方法拉普拉斯变换的数学方法2.12.12.12.1拉普拉斯变换的定义2.22.22.22.2几个常用函数的拉氏变换2.32.32.32.3拉氏变换的主要运算定理2.42.42.42.4求拉氏反变换在求解线性微分方程时，用常规方法求解，其计在求解线性微分方程时，用常规方法求解，其计在求解线性微分方程时，用常规方法求解，其计在求解线性微分方程时，用常规方法求解，其计算过程复杂。算过程复杂。算过程复杂。算过程复杂。英国的电工工程师英国的电工工程师英国的电工工程师英国的电工工程师LaplaceLaplaceLaplaceLaplace提出了一种提出了一种提出了一种提出了一种函数变换法，可以使计算过程大大简化函数变换法，可以使计算过程大大简化函数变换法，可以使计算过程大大简化函数变换法，可以使计算过程大大简化————————拉普拉拉普拉拉普拉拉普拉斯变换法。斯变换法。斯变换法。斯变换法。66522=++ydxdydxyd如何求解线性微分方程？如2.12.12.12.1拉普拉斯（拉普拉斯（拉普拉斯（拉普拉斯（LaplaceLaplaceLaplaceLaplace）变换的定义）变换的定义）变换的定义）变换的定义若一个时间函数若一个时间函数若一个时间函数若一个时间函数ffff（（（（tttt）））），，，，称为称为称为称为原函数原函数原函数原函数，经过下式，经过下式，经过下式，经过下式计算转换为计算转换为计算转换为计算转换为象函数象函数象函数象函数FFFF(s)(s)(s)(s)：：：：()()dtetfsFst−∞∫=0记为()()[]tfLsF=称称称称FFFF((((ssss))))为为为为ffff((((tttt))))的的的的LaplaceLaplaceLaplaceLaplace变换（拉氏变换）变换（拉氏变换）变换（拉氏变换）变换（拉氏变换）。其中算子。其中算子。其中算子。其中算子s=s=s=s=σ++++jjjjω为复数。为复数。为复数。为复数。若已知若已知若已知若已知FFFF(s)(s)(s)(s)，求求求求原函数原函数原函数原函数ffff((((tttt))))，则则则则称为称为称为称为LaplaceLaplaceLaplaceLaplace反反反反（逆）变换（简称拉氏反（逆）变换）（逆）变换（简称拉氏反（逆）变换）（逆）变换（简称拉氏反（逆）变换）（逆）变换（简称拉氏反（逆）变换），即，即，即，即()()dsesFjtfstjj∫+−=ωσωσπ21记为()()[]sFLtf1−=显然，若显然，若显然，若显然，若FFFF((((ssss))))是是是是ffff((((tttt))))的的的的拉氏变换，则拉氏变换，则拉氏变换，则拉氏变换，则ffff((((tttt))))就是就是就是就是FFFF((((ssss))))的的的的拉氏反变换。拉氏反变换。拉氏反变换。拉氏反变换。从数学角度考虑，一个时域函数从数学角度考虑，一个时域函数从数学角度考虑，一个时域函数从数学角度考虑，一个时域函数f(tf(tf(tf(t))))能够进行拉能够进行拉能够进行拉能够进行拉氏变换的条件为：氏变换的条件为：氏变换的条件为：氏变换的条件为：(1)(1)(1)(1)当当当当tttt0000时，时，时，时，ffff((((tttt)=0)=0)=0)=0；；；；(2)(2)(2)(2)ffff((((tttt))))只有有限个间断点，且能找到适当的只有有限个间断点，且能找到适当的只有有限个间断点，且能找到适当的只有有限个间断点，且能找到适当的ssss，，，，使使使使()∞−∞∫dtetfst0成立。成立。成立。成立。在控制系统中的时域函数一般均满足以上两个条在控制系统中的时域函数一般均满足以上两个条在控制系统中的时域函数一般均满足以上两个条在控制系统中的时域函数一般均满足以上两个条件，故均可进行拉氏变换。件，故均可进行拉氏变换。件，故均可进行拉氏变换。件，故均可进行拉氏变换。2.22.22.22.2几个常用函数的拉氏变换几个常用函数的拉氏变换几个常用函数的拉氏变换几个常用函数的拉氏变换（（（（1111））））单位阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数⎩⎨⎧≥=0,10,0)(1ttt定义为：单位阶跃函数的拉氏变换为：ssedtettLstst10)(1)](1[0=∞−==−∞−∫（2222）单位脉冲函数单位脉冲函数单位脉冲函数单位脉冲函数⎩⎨⎧≠=∞=0,00,)(tttδ)0()()(1)(00fdttftdtt==∫∫∞∞δδ定义为：单位脉冲函数的重要性质：单位脉冲函数的拉氏变换为：10)()]([0====−∞−∫tedtettLststδδ（3333）单位斜坡函数单位斜坡函数单位斜坡函数单位斜坡函数⎩⎨⎧≥=0,0,0)(ttttf定义为：单位斜坡函数的拉氏变换为：22000101)(0][sesdtsedtsesetdttetLststststst=∞−==−−∞−==−∞−∞−−∞−∫∫∫注意分部积分法的使用——∫∫−=vduuvudv（4444）指数函数指数函数指数函数指数函数atetf=)(定义为：指数函数的拉氏变换为：asasedtedteeeLtastasstatat−=∞−−===−−∞−−∞−∫∫10][)(0)(0（5555）正弦函数正弦函数正弦函数正弦函数用欧拉公式表示为：正弦及余弦函数正弦及余弦函数正弦及余弦函数正弦及余弦函数11110000ttttffff((((tttt))))ffff((((tttt)=sin)=sin)=sin)=sinωωωωttttffff((((tttt)=)=)=)=coscoscoscosωωωωtttt-1-1-1-1220sin][sinωωωω+=⋅=∫∞−sdtettLst)(21sintjtjeejtωωω−−=其拉氏变换为：)(21costjtjeetωωω−+=用欧拉公式表示为：其拉氏变换为：220cos][cosωωω+=⋅=∫∞−ssdtettLst（6666）余弦函数余弦函数余弦函数余弦函数正弦及余弦函数正弦及余弦函数正弦及余弦函数正弦及余弦函数11110000ttttffff((((tttt))))ffff((((tttt)=sin)=sin)=sin)=sinωωωωttttffff((((tttt)=)=)=)=coscoscoscosωωωωtttt-1-1-1-1（7777）幂函数幂函数幂函数幂函数其拉氏变换为：10!][+∞−=⋅=∫nstnnsndtettL例：3322!2][sstL==单位阶跃单位脉冲单位斜坡幂函数正弦函数余弦函数指数函数常用时间函数的拉氏变换表——可通过直接查表求时间函数的拉氏变换。（1111）迭加定理迭加定理迭加定理迭加定理（很重要，系统微分方程进行拉氏变换常用）2.32.32.32.3拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理若若若若则则则则()()()tftftf21±=()()()[]()()sFsFtftfLsF2121±=±=（2222）比例定理比例定理比例定理比例定理（很重要，系统微分方程进行拉氏变换常用）若若若若则则则则()()()[]()sFtfLtkftf111==()()[]()sFktfLsF1==由（1）、（2）()()[]()[]()[]()()sFksFktfLktfLktfKtfKL221122112211+=+=+若有常数K1、K2，函数f1(t)、f2(t)，则有线性定理（3333）微分定理（很重要，系统微分方程进行拉氏变微分定理（很重要，系统微分方程进行拉氏变微分定理（很重要，系统微分方程进行拉氏变微分定理（很重要，系统微分方程进行拉氏变换常用）换常用）换常用）换常用）若若若若则则则则()()[]tfLsF=()()()+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0fsFsdttdfL其中其中其中其中()()tffttlim000→+=相当于初始条件。于是相当于初始条件。于是相当于初始条件。于是相当于初始条件。于是()()()()+++′−−=′−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡000222fsfsFsfdtdfsLdtdfdtdLdtfdL若为零若为零若为零若为零初始条件初始条件初始条件初始条件()()()()()000001===′′=′=+−+++nffff⋯()()()()()()sFsdttfdLsFsdttfdLsFsdttdfLnnn=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯222则则则则()()()()()()sFsdttfdLsFsdttfdLsFsdttdfLnnn=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯222（4444）积分定理积分定理积分定理积分定理若若若若则则则则()()[]tfLsF=()[]()()sfssFdttfL+−−=∫01其中其中其中其中()()∫=+−dttff01在在在在tttt=0=0=0=0处的值处的值处的值处的值()()()()()sfsfsfssFdttfLnnnnn+−−+−+−++−−==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∫∫000121⋯�����⋯若若若若()()()000021====+−+−+−nfff⋯则则则则()()nnssFdttfL==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∫∫�����⋯同理有同理有同理有同理有（5555）位移定理位移定理位移定理位移定理若若若若则则则则()()[]tfLsF=（6666）延迟定理延迟定理延迟定理延迟定理若若若若则则则则()()[]tfLsF=()[]()sFeatfLas−=−()[]()asFtfeLat+=−（7777）初值定理初值定理初值定理初值定理()()ssFtfstlimlim0∞→→=+（8888）终值定理终值定理终值定理终值定理()()ssFtfstlimlim0→∞→=2.42.42.42.4求拉氏反变换求拉氏反变换求拉氏反变换求拉氏反变换若若若若()()[]tfLsF=且()()()()sFsFsFsFn+++=⋯21若若若若()()()sFsFsFn,,,21⋯的拉氏反变换容易求出的拉氏反变换容易求出的拉氏反变换容易求出的拉氏反变换容易求出,,,,则则则则()()[]()()()[]()()()tftftfsFsFsFLsFLtfnn⋯⋯++=+++==−−212111设设设设()()()()()()()()()nmpspspszszszsKsAsBsF−−−−−−==⋯⋯2121式中式中式中式中nppp,,,21⋯和和和和mzzz,,,21⋯分别是分别是分别是分别是()sF的极点和零点。的极点和零点。的极点和零点。的极点和零点。下面讨论三种情况。下面讨论三种情况。下面讨论三种情况。下面讨论三种情况。1.1.1.1.部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法（1111）极点各不相同，极点各不相同，极点各不相同，极点各不相同，FFFF(s)(s)(s)(s)可化为如下形式可化为如下形式可化为如下形式可化为如下形式::::()()()nnpscpscpscsAsBsF−++−+−==⋯2211则则则则()tpntptpnececectf+++=⋯2121例例例例1111、已知、已知、已知、已知()()(),213+++=ssssF求求求求()tf解：因为解：因为解：因为解：因为()()()2112213+−+=+++=ssssssF所以所以所以所以()tteessLtf2122112−−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+=拉氏变换表（2222）FFFF(s)(s)(s)(s)具有共轭复数具有共轭复数具有共轭复数具有共轭复数极点极点极点极点pppp1111和和和和pppp2222，，，，FFFF(s)(s)(s)(s)可化为如下可化为如下可化为如下可化为如下形式形式形式形式::::()()()()()nnpscpscpspscscsAsB