(完整版)直线与圆的位置关系

(1)点到直线距离公式：(2)圆的标准方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)(3)圆的一般方程：d=|Ax0+By0+C|√A2+B2(x-a)2+(y-b)2=r2圆心坐标：，半径：(-,D2E2-)22142DEF点P到圆心C的距离为d，圆的半径为r，则：点在圆外点在圆上点在圆内位置关系数形结合：数量关系22200;xxyyr22200;xxyyr22200;xxyyr点和圆的位置关系有几种？00,Pxy222xaybrdrdrdr直线和圆的位置关系(一)直线与圆的位置关系的判定思考1:在平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？思考2:在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？drdrdrdrd=rdr思考3:如何根据直线与圆的公共点个数判断直线与圆的位置关系？两个公共点一个公共点没有公共点相交相切相离(一)直线与圆的位置关系的判定思考4:在平面直角坐标系中，我们用方程表示直线和圆，如何根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系？方法一:根据直线与圆的联立方程组的公共解个数判断；方法二:根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断.(一)直线与圆的位置关系的判定代数法几何法代数法：操作步骤1.将直线方程与圆方程联立成方程组；2.通过消元，得到一个一元二次方程；3.求出其判别式△的值；4.比较△与0的大小关系：若△＞0，则直线与圆相交；若△＝0，则直线与圆相切；若△＜0，则直线与圆相离．(一)直线与圆的位置关系的判定1.把直线方程化为一般式，并求出圆心坐标和半径r；2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d；若d＞r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d＜r，则直线与圆相交．3.比较d与r的大小关系：(一)直线与圆的位置关系的判定几何法：操作步骤例1:已知直线l:3x+y-6=0和圆C:x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系;如果相交,求它们交点的坐标.例2：已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？法二圆心O(0,0)到y＝x＋b的距离d＝，半径r＝.①当d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆相交；②当d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切；③当d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆相离．2||b2只要有相切；就要考虑圆心到切点的直线！Ol相切问题中列方程的基本依据！(二）直线与圆相切A|OA|=r(即:d=r)kl·kOA=-1思考1:设点M(x0,y0)为圆x2＋y2=r2上一点，则过M点可以作几条圆的切线？如何求过点M的圆的切线方程？xoyx0x+y0y=r2（二）直线与圆相切---圆的切线方程M(x0,y0)00000,0,OMyxykx解：设则0000()xyyxxy切线方程为2220000xxyyxyr即0000xy易验证或时方程也成立（二）直线与圆相切---圆的切线方程M(x0,y0)xoyP思考2:设点M(x0,y0)为圆x2＋y2=r2外一点，则过M点可以作几条圆的切线？如何求过点M的圆的切线方程？22(4,3):(3)(1)1ACxy例3.过点作圆的切线，求切线方程.3(4)ykx解：(1)若斜率存在，设切线为430kxyk即214311kkk|3|158k153(4)8yx切线为158360xy即4x(2)若斜率不存在，直线与圆相切1583604xyx综上，圆的切线方程为或（二）直线与圆相切---圆的切线方程注意：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，无切线．（三）直线与圆相切---圆的切线长度xoyPM(x0,y0)思考3:设点M(x0,y0)为圆x2＋y2=r2外一点，如何求过点M的圆的切线长度？推广：设点M(x0,y0)为圆(x-a)2＋(y-b)2=r2外一点，过点M的圆的切线长度是多少？推广：设点M(x0,y0)为圆x2＋y2+Dx+Ey+F=0外一点，过点M的圆的切线长度是多少？（三）直线与圆相切---圆的切线长度xoyPC(a,b)M(x0,y0)相交COlOC称为弦心距且C为弦AB的中点AB注：只要有相交；就要考虑弦心距及弦心距三角形.OA2=AC2+OC2222)21(dABr（四）直线与圆相交例4:已知直线y=x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点，求弦长|AB|的值解法一：（求出交点利用两点间距离公式）xyOAB14|AB|)271,271(B),271,271(A271y,271y271x,271x03x2x2y,4yx1xy2121222得消去由（四）直线与圆相交---求弦长14)]23(4)1[(11]xx4)xx[(k1|xx|k1|AB|23xx,1xx03x2x2y4yx1xy222122122122121222得消去由解法二：（弦长公式）例4:已知直线y=x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点，求弦长|AB|的值.（四）直线与圆相交---求弦长xyOAB212||1||ABkxx弦长公式：解法三：(解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形)14dr2|AB|22)1(11d222设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则例4:已知直线y=x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点，求弦长|AB|的值.（四）直线与圆相交---求弦长xyOABrd求圆的弦长方法（1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边（2）代数法：用弦长公式222121212||1||(1)[()4]ABkxxkxxxx（四）直线与圆相交---求弦长例5:已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程．)3,3(M021422yyx54（四）直线与圆相交---求弦长例6:求过点A(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得弦长最大的直线方程..Cxy.A（五）有关圆的最值问题问题1.已知点A(1,3)，P为圆:(x-2)2+(y+1)2=4上一点，求|PA|的最大值和最小值.有关圆的最值问题问题2.已知直线3x-2y+6=0，P为圆:(x-2)2+(y+1)2=4上一点，求点P到直线的距离的最大值和最小值.Key:最大值是：d+r，最小值是：|d-r|.Key:若相离，最大值是：d+r，最小值是：d-r.若相交，最大值为：d+r,最小值为：0.C例7:求过圆:(x+2)2+(y-2)2=9内一点A(-1,3)的最长弦和最短弦所在的直线方程。A12123k),2,2(C:AC圆心为解最长弦所在的直线方程为：x-y+4=0最短弦所在的直线方程为：x+y-2=0（五）有关圆的最值问题CO例7:已知x,y满足方程x2+y2-6x-2y+6=0,求:(1)x2+y2的最大值；A1019|OC|如图10414210(|OA|)yx(22max22）（五）有关圆的最值问题解：(1)CO例7:已知x,y满足方程x2+y2-6x-2y+6=0,3(2)1yx求：的最大值和最小值.A（五）有关圆的最值问题03kykx,k1x3y则：设21k3k1k32P03k8k32374k374)1x3y(;374)1x3y(maxmin(五）有关圆的最值问题例7:已知x,y满足方程x2+y2-6x-2y+6=0,3y求:-x的最小值.练习：1．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线的长是()．A．2B.C．1D．42．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．3．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为()．A．－1或B．1或3C．－2或6D．0或44．直线x＋y＋2＝0与圆x2＋(y＋1)2＝a2有公共点，则a的取值范围是________．3