数字信号处理(第三版)第1章习题答案

时域离散信号和时域离散系统第1章第1章时域离散信号和时域离散系统1.1学习要点与重要公式1.2解线性卷积的方法1.3例题1.4习题与上机题解答时域离散信号和时域离散系统第1章1.1学习要点与重要公式本章内容是全书的基础。学生从学习模拟信号分析与处理到学习数字信号处理，要建立许多新的概念。数字信号和数字系统与原来的模拟信号和模拟系统不同，尤其是处理方法上有本质的区别。模拟系统用许多模拟器件实现，数字系统则通过运算方法实现。如果读者对本章关于时域离散信号与系统的若干基本概念不清楚，则学到数字滤波器时，会感到“数字信号处理”这门课不好掌握，总觉得学习的不踏实。因此学好本章是极其重要的。时域离散信号和时域离散系统第1章1.1.1（1）信号：模拟信号、时域离散信号、数字信号三者之间的区别；常用的时域离散信号；如何判断信号是周期性的，其周期如何计算等。（2）系统：什么是系统的线性、时不变性以及因果性、稳定性；线性、时不变系统输入和输出之间的关系；求解线性卷积的图解法（列表法）、解析法，以及用MATLAB工具箱函数求解；线性常系数差分方程的递（3）模拟信号的采样与恢复：采样定理；采样前的模拟信号和采样后得到的采样信号之间的频谱关系；如何由采样信号恢复成原来的模拟信号；实际中如何将时域离散信号恢复成模拟信号。时域离散信号和时域离散系统第1章1.1.2重要公式（1）mnhnxmnhmxny)(*)()()()(这是一个线性卷积公式，注意公式中是在－∞~∞之间对m求和。如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应，y(n)是系统输出，则该式说明系统的输入、输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。时域离散信号和时域离散系统第1章（2）x(n)=x(n)*δ(n)该式说明任何序列与δ(n)的线性卷积等于原序列。x(n－n0)=x(n)*δ(n－n0)（3）kankXTX)jj(1)j(ˆs这是关于采样定理的重要公式，根据该公式要求对信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上，才能得到不失真的采样信号。naaTnTtTnTtntxtx/)(π]/)(πsin[)()(这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。时域离散信号和时域离散系统第1章1.2解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。解线性卷积有三种方法，即图解法（列表法）、解析法和在计算机上用MATLAB语言求解。它们各有特点。图解法（列表法）适合于简单情况，短序列的线性卷积，因此考试中常用，不容易得到封闭解。解析法适合于用公式表示序列的线性卷积，得到的是封闭解，考试中会出现简单情况的解析法求解。解析法求解过程中，关键问题是确定求和限，求和限可以借助于画图确定。第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的线性卷积，实验中常用。时域离散信号和时域离散系统第1章解线性卷积也可用Z变换法，以及离散傅里叶变换求解，这是后面几章的内容。下面通过例题说明。设x(n)=R4(n),h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)该题是两个短序列的线性卷积，可以用图解法（列表法）或者解析法求解。表1.2.1给出了图解法（列表法），用公式可表示为y(n)={…,0,0,1,2,3,4,3,2,1,0,0,…}时域离散信号和时域离散系统第1章时域离散信号和时域离散系统第1章下面用解析法求解，写出卷积公式为mmmnRmRmnhmxny)()()()()(44在该例题中，R4(m)的非零区间为0≤m≤3，R4(n－m)的非零区间为0≤n－m≤3，或写成n－3≤m≤n，这样y(n)的非零区间要求m同时满足下面两个不等式：0≤m≤3m－3≤m≤n上面公式表明m的取值和n的取值有关，需要将n作分段的假设。按照上式，当n变化时，m应该按下式取值：时域离散信号和时域离散系统第1章max{0,n－3}≤m≤min{3,n}当0≤n≤3时，下限应该是0，上限应该是n；当4≤n≤6时，下限应该是n－3，上限应该是3；当n0或n6时，上面的不等式不成立，因此y(n)=0；这样将n分成三种情况（1）n0或n6时，y(n)=0（2）0≤n≤3时，nmnny011)(时域离散信号和时域离散系统第1章（3）4≤n≤6时，nnmnny371)(将y(n)写成一个表达式，如下式：y(n)=071)(nnny0≤n≤34≤n≤6其它时域离散信号和时域离散系统第1章在封闭式求解过程中，有时候决定求和的上下限有些麻烦，可借助于非零值区间的示意图确定求和限。在该例题中，非零值区间的示意图如图1.2.1所示。在图1.2.1(b)中，当n0时，图形向左移动，图形不可能和图1.2.1(a)的图形有重叠部分，因此y(n)=0。当图形向右移动时，0≤n≤3，图形如图1.2.1(c)所示，对照图1.2.1(a)，重叠部分的上下限自然是0≤m≤n。当图形再向右移动时，4≤n≤6，如图1.2.1(d)所示，重叠部分的上下限是n－3≤m≤3。当图形再向右移动时,7≤n，图形不可能和图1.2.1(a)有重叠部分，因此y(n)=0。时域离散信号和时域离散系统第1章图1.2.1时域离散信号和时域离散系统第1章1.3例［例1.3.1］线性时不变系统的单位脉冲响应用h(n)表示，输入x(n)是以N为周期的周期序列，试证明输出y(n)亦是以N为周期的周期序列。证明：因为输入x(n)是以N为周期的周期序列，因此x(n＋kN－m)=x(n－m)将上式代入（1）式，得到上式说明y(n)也是以N为周期的周期序列。mmnxmhnxnhny)()()(*)()(mkTnymkNnxmhkNnxnhny)()()()(*)()(时域离散信号和时域离散系统第1章［例1.3.2］线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)h(n)=a－nu(－n)计算该系统的单位阶跃响应。解用s(n)表示系统的单位阶跃响应，则mmnumhnxnhns)()()(*)()(mmmnumua)()(时域离散信号和时域离散系统第1章按照上式，s(n)的非零区间可由下面两个不等式确定:m≤0及m≤n（1）n≤0时,001)(mmnmmnmmnmmaaaans111111aaanaaaaann11111时域离散信号和时域离散系统第1章（2）n0时,0011)(mmmmaaans最后得到)]1()([11)(nunuaansn1j)(2j)(nunhn［例1.3.3］设时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入激励信号x(n)分别为时域离散信号和时域离散系统第1章x(n)=cos(πn)u(n)求系统的稳态响应y(n)。解x(n)=cos(πn)u(n)=(－1)nu(n)2j12j11)1(2j)1()1(2j)1)((2j)()()(10nnnmmnnmnmnmnmnmumnxmhny时域离散信号和时域离散系统第1章当n→∞时，稳态解为j2j54)1()(nny［例1.3.4］假设5项滑动平均滤波器的差分方程为y(n)=［x(n)+x(n－1)+x(n－2)+x(n－3)+x(n－4)］输入信号用图1.3.1表示，画出该滤波器输出的前16个序列值的波形，并说明该滤波器对输入信号起什么作用。51时域离散信号和时域离散系统第1章图1.3.1时域离散信号和时域离散系统第1章解：已知系统的差分方程和输入信号求系统输出，可以用递推法求解，这里采用MATLAB函数filter计算。调用MATLAB函数filter计算该系统的系统响应的程exp134.m如下：%程序exp134.m%调用conv实现5xn=0.5*ones(1，15)；xn(4)=1；xn(6)=1；xn(10)=1；hn=ones(1，5)；yn=conv(hn，xn)；时域离散信号和时域离散系统第1章%n=0：length(yn)－1；subplot(2，1，1)；stem(n，yn，′.′)xlabel(′n′)；ylabel(′y(n)′)程序运行结果如图1.3.2所示。由图形可以看出，5项滑动平均滤波器对输入波形起平滑滤波作用，将信号的第4、8、12、16的序列值平滑去掉。时域离散信号和时域离散系统第1章图1.3.2时域离散信号和时域离散系统第1章［例1.3.5］已知x1(n)=δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)，x2(n)=u(n)－u(n－3)，试求信号x(n)，它满足x(n)=x1(n)*x2(n),并画出x(n)的波形。解：这是一个简单的计算线性卷积的题目。x(n)=x1(n)*x2(n)=［δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)］*［u(n)－u(n－3)=［δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)］*R3(n)=R3(n)+3R3(n－1)+2R3(n－2)=δ(n)+4δ(n－1)+6δ(n－2)+5δ(n－3)+2δ(n－4)画出x(n)的波形如图1.3.3所示。时域离散信号和时域离散系统第1章图1.3.3时域离散信号和时域离散系统第1章［例1.3.6］已知离散信号x(n)如图1.3.4(a)所示，试求y(n)=x(2n)*x(n)，并绘出y(n)的波形。（选自西安交通大学2001解：这也是一个计算线性卷积的题目，只不过要先求出x(2n)。解该题适合用列表法(图解法)。x(2n)={1,1,1,0.5}y(n)=x(2n)*x(n)={1,2,3,3,3,3,2.75,2,1,0.25}绘出y(n)的波形如图1.3.4(b)所示。时域离散信号和时域离散系统第1章图1.3.4时域离散信号和时域离散系统第1章1.41.用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。题1图时域离散信号和时域离散系统第1章解：x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)2．给定信号：2n+5－4≤n≤－160≤n≤40其它(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列值；(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(x(n)=时域离散信号和时域离散系统第1章（3）令x1(n)=2x(n－2)，试画出x1(n)波形；（4）令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；（5）令x3(n)=x(2－n)，试画出x3(n)波形。解：(1)x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。(2)x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)4014)(6)()52(mmmnmnm时域离散信号和时域离散系统第1章（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。(5)画x3(n)时，先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（一）时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（二）时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（三）时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（四）时域离散信号和时域离散系统第1章3．判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。是常数AnAnx8π73cos)()81(je)(nnx(1)(2)解：（1）因为ω=π,所以,这是有理数，因此是周期序列，周期T