模拟信号的分段压缩感知

模拟信号的分段压缩感知OmidTaheriSergiyA.Vorobyov阿尔伯塔大学电子与计算工程学院摘要：提出了一种新的处理连续信号的方法（AIC，analog-to-informationconversion）。根据这种方法，信号首先是被分段后通过AIC处理得到一组不完整的测量结果。然后，剩余的的相关数据通过选择特别的方法就可以由不断加入数据子集而重建。归功于该方法的内在特殊结构，采样设备并没有改变但是信号恢复却有了有意义的提高。该方法的有效性已经从理论上得到了证实。仿真结果亦表明分段压缩感知的可靠性。关键词：压缩感知约束等距性连续信号转换1引言压缩感知理论告诉我们，如果一个信号是稀疏的，它就可以从低于乃奎斯特采样频率的信息中重新恢复原始信号[1]-[3]。具体的，信号f在正交基下的表达式为f=1Nixiψi=Hx（1）其中ψi，i=1，…，N是1×N的基向量，xi，i=1…，N是若干个系数，是N×N的矩阵，ψi，i=1，…，N是行向量，x=[x1，…，xN]T，（.）H表示厄密共轭变换。如果大多数系数为零就称f为稀疏的。在中如果最多只有S个系数不为零，则信号为S稀疏的。CS理论指出，我们可以建立一个通用的S稀疏采样矩阵而不管特定信号的自然属性[1]。诸如图像获取、传感网络、认知无线电压缩感知理论已经得到了应用。采样过原始程是对f信号乘以一个K×N的测量矩阵，也就是说y=f=x，其中=H。用这些有效的测量数据，原始信号可以通过下面一个最优化问题得到恢复。[1],[7]min||̃||l1,满足̃=y（2）其中，||.||l1表示向量的l1范数。（2）是一个凸函数可以转化成线性问题加以解决。不确定性原则为压缩感知提供了一个极佳的前提条件。它要求测量矩阵必须满足约束等距性。特别的，我们用T来表示的子矩阵，前者表示由后者的列构成的子阵，T｛1，…，N｝，S稀疏等距常数S满足下式（1-S）22lc≤22cTl≤(1+S)22lc（3）c的势小于等于S。在（3）式中2.l表示向量的欧几里德距离。如果约束等距常数足够小，就可以保证测量矩阵高精度的表示了S稀疏的c向量的大不分值。K×N的均值为零方差为1/K高斯随机矩阵就是这种测量矩阵的一个很好的例子。这种矩阵能够以高概率满足S≤cK/log(N/K)，其中c为常数。在这篇文章中，我们针对AIC提出了一种新的压缩感知方法，它用我们已经获取了的测量方法来进行一系列新的相关的测量。这些新的测量方法可以用来提高信号的重建精度。由于这种新的方法只是建立在增加测量数据的老方法之上，采样设备几乎没有变化。扩展原来CS测量矩阵的步骤在这里将会被介绍。同时还将证明为了使信号恢复扩展的矩阵必须满足约束等距性。仿真结果证实了该方法的有效性。这篇文章的总体构造是这样的，在第二部分中，介绍一种新的分段压缩感知方法。紧接着在第三部分中将证明如果原始测量矩阵满足约束等距性则分段压缩感知的扩展矩阵也符合约束等距性。由于我们在分析中都是假设矩阵的所有元素是满足独立同分布均值为0的高斯变量，这个结果也可以看成是托普利茨矩阵的高度概括[9]。所提方法优势的仿真结果在第四部分阐述然后就是第五部分的总结。2提出的分段压缩感知方法在压缩感知的过程中，信号的采样和压缩是紧密结合在一起的。因此在宽带信号中高速的数模转换器是必不可少的。然而，除了可以用乃奎斯特速率采样后通过测量矩阵还可以用RMPI系统进行AIC处理。[8]。为了得到所需值，先将信号和采样波在时域相乘然后对这个乘机在其周期内进行积分。由于计算是在时域进行的，一系列平行的混合与积分模块是必不可少的。图1清楚的再现了这种结构，x（t）是原始信号，()it=,i=1，…，K是采样波形，iy，i=1，…，K是压缩后的信号。随机的±1序列是一种符合要求的采样波形。1y1()t2y2()tKy()Kt图（1）基于RMPI的AIC结构0T0T0T使用平行的AIC方法，可以克服高速度的AD转换，然而，在连续信号处理和复原等很多实际的应用中收集大量的测量数据是必要的。为了得到更多数据的分支直接影响到了AIC的复杂度。因此，在不牺牲恢复精度的前提下减少平行的分支数量是我们希望看到的。可以通过对每一个积分分支进行分段积分用一组不完全测量值取代在整个区间积分的唯一值[6]。注意到原始积分区间被分成许多小的区间，现在的测量值并没有完全表示原信号。所以，这种方法也叫不完全测量。下文中，经典的完全测量我们称为采样，而不完全测量则叫欠采样。我们工作的主要内容是对比不同采样波形下重新使用欠采样的一种新的测量方法。假设积分周期被分成M个子区间，k[,0,...,,1]yTkkyyM表示由k，k=1，…，K1感知的欠采样向量，K1是传统采样的个数。欠采样,kjy，k=0，1，…，K1-1，j=0，1，…,M-1由下式给出(1),()()jTMjTMkjkyxttdt（4）总的欠采样点数为MK1。这些数据可以放在K1×M的矩阵中，其中第k行对应于k。原始的K1个数据可以用下面的式子进行计算1,0Mkkmmyyk=0，1，…，K1-1（5）举个例子来说，为了得到第K1+1个样点值我们可在主对角线上选择M个样点并把他们相加。对于第K+2个样点值我们可在次主对角线上选择M个样点并把它们相加，如是，可以此类推。这些新点值可用下面的公式来计算1110{()mod},,MKkmyykmKmk=0，1，…，K2-1（6）其中，K2≤K1。产生新采样点值同样也可以用测量矩阵来得出。矩1的第k行为,0,1[,...,]kkkM，,0,1,...,kkM是M维向量其长度是N/M。为了简便起见，我们假定N/M为整数。对于K1M,K=K1+K2的扩展矩阵，可以表示为112KK111120,00,10,11,01,11,11,01,11,110,01,11,11,02,1,11,0MMKKMKKMMMKKK（7）其中2是K2×N新的采样波形矩阵。系数1KK用来确保有单位列向量组成。由于的特殊结构，硬件设计时只需要K1个积分器。这种新的采样结构是这样的：从不同的子积分器上抽取不同的子样点并把他们相加。这种采样与实际样点相似，但是，仿真结果告诉我们它大大提高了恢复精度。上述形成扩展矩阵的方法是众多可行的选择之一。一般来说被选择的新的感知波形与原始的感知函数要有尽可能小的相关性。因此，只能从1中选择其第k0行。当然从1的行中选择的M向量必须包含信号在整个周期内的积分。3分段压缩感知的结果分析在这部分中，我们的结果建立在如果1约束等距性，也满足约束等距性。所以扩展矩阵是一个有效的压缩感知矩阵。这个可以看成是文献[9]的概括，在那里有特殊结构的原始感知矩阵具有一些相似的性质可以作为扩展矩阵。与该文献不同的是，我们只假设原始感知矩阵的元素满足独立同分布且均值为零的高斯变量。我们用1、2和分别表示原始测量矩阵、采样矩阵、宽展矩阵。我们假定1以高概率满足约束等距性。举个例子来说，令1的元素满足方差为1/K1/、均值为0的独立同分布高斯随机变量。T表示｛1，…，N｝的子集，在0S1时，1能够以概率满足下面的式子Pr{(1)T满足（3）式）}≥1-2（12/S）S01(/2)ScK（8）(1)T是以T为指标集的1的列矩阵230(/2)/16/48SSSc。为了简洁起见后续我们都用c0来表示0(/2)Sc。下面关于扩展矩阵的辅助结果是合适的。引理1：假设矩阵1的元素是独立同分布均值为零方差为1/K1，是文献（7）中提到的方法形成的，T是｛1，…N｝的子集。如果K2是满足｛K1，K2+M-1｝≤[（K1+K2）/2]的最小值，对于任意的0S1，则有下面的不等式成立。Pr{(1)T满足（3）式）}≥1-4（12/S）S（120()2KKc）（9）证明：在后续的论文里将会被证明。用上述的定理，我们可以证明文献（7）中说的扩展矩阵满足约束等距性。定理1：1的元素是独立同分布均值为零方差为1/K1，是文献（7）中提到的方法形成的。如果K2是满足｛K1，K2+M-1｝≤[（K1+K2）/2]的最小值，对于任意的0S1存在之取决于S的常数c1和c2，S≤c1bK/2c/ln(N/S)，对于S稀疏的满足（3）式的概率大于2-c[K/2]1-4e，也就是说Pr{(1)TRIP）}≥2-c[K/2]1-4e（10）证明：在后续的文章中会有证明4仿真结果在我们的仿真例子中，稀疏信号由如下方法产生。在512个数据中只有10个是非零的。非零的数据是随机在1和-1中选取。测量是有噪声的，所以测量过程可用这样的式子表达：yfe，其中e是均值为零方差为2的高斯随机变量。三种不同的测量矩阵将会被用到，原始的矩阵是高斯独立同分布的K1×N矩阵，我们所提出的扩展矩阵大小为（K1+K2）×N，测量矩阵是（K1+K2）×N的独立同分布的高斯随机矩阵。K1是固定的，其值是64，K2是变量。M=8。在原始矩阵中，高斯噪声方差是2/M。由扩展矩阵得到的测量值就含有这样一个噪声。这样，扩展矩阵的噪声关系就被考虑到了。我们用最小均方差来衡量误差，实验中我们娶1000个值的样本来计算均方差。由于测量是有噪声的，测量算法是不能完全刻画原始信号的。所以，下面的恢复模型就会被我们在仿真中用到。1~minlx满足2~'lxy（11）其中是噪声的边界。在本例子中，可以取K，K=K1+K2为噪声向量的大小。由于信号在时域本身就是稀疏的，稀疏基是单位矩阵，故而，在（11）中'。二展示了在K2/K1大于等于0，小于等于1时上面所提到的三种方法的最小均方差。这个结果展示了三种不同的噪声水平下的效果。信噪比被定义成2222/llfe，约等于2222/llff，由于（3）式，这个结果是可信的，噪声方差2可以用信噪比近似估计出。比如说，在下面的例子中我们可以用10log（10/L2）计算信噪比。其中L是噪声向量e的长度。在图二中，最小均方误差分别在信噪比为5、15、25dB下获得。图（2）基于K2/K1的MSEs图（3）基于SNR的MSEs从图二中我们看到使用扩展矩阵比原始的K1×N阶矩阵有好的恢复效果。这是因为我们所提到的扩展矩阵测量方法与其它方法相关。但是，比较这两种方法的恢复效果，我们会看到两种方法几乎一样，但是扩展举矩阵法只需要很少的积分分支就可以实现同样的效果。比如，如果K2/K1=1，则积分器就少一半。对比三种不同噪声水平的均方差曲线，我们可以看出，随着噪声的减少，恢复精度就会提高。但是，我们所提到的扩展矩阵恢复精度比原始的测量方法提高的更快一点。图三展示了上面所提到了三种测量矩阵的信噪比，其中，K2/K1∈[0.1563,1]。从中可以看出，不管是扩展矩阵还是同样大小的测量矩阵都比原始矩阵的恢复效果好。这些高的提升需要高比例的K2/K1。进一步说，如果K2/K1=0.1563，最小均方误差在25dB，当比例为1时所有范围内的信噪比都有提升。5总结一种提高CS恢复水平的分段压缩感知在本文被提出来了。它几乎没有给取样部分带来额外的开销就能够提供非常好的信号恢复效果。采样部分的复杂度的略微增加只是为了获得更好优化问题解决的必要开销，在采样阶段大量的积分分支也可以保持不变。仿真结果展示了该方法的良好效果。致谢我们的工作得到了加拿大自然科学和工程研究委员会和艾伯塔省基金会的支持。参考文献1]E.CandesandT.Tao,“Decodingbylinearprogramming,”IEEETrans.Inf.Theory,vol.51,pp.4203–4215,Dec.2005.[2]D.Donoho,“Compressedsensing,”IEEETrans.Inf.The