数字通信原理第2章-随机信号分析

2010-9-201第二章随机信号分析随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析的主要内容：„随机过程的一般表述„平稳随机过程„高斯过程„窄带随机过程„正弦波加窄带高斯过程„平稳随机过程通过线性系统2010-9-202引言„信号：一般是时间的函数„确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号„周期信号和非周期信号„能量信号和功率信号„基带信号和频带信号„模拟信号和数字信号„随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述„通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。„噪声和干扰是随机的信号；„无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变化的。2010-9-203„随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量)„随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。如n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。„随机过程是所有样本函数的集合。2010-9-2041随机过程的一般表述(1)„样本函数：随机过程的具体实现„样本空间：所有实现构成的全体„所有样本函数及其统计特性构成了随机过程~()ixt{}1~(),,(),iSxtxt=KK~()tξ2010-9-205„随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。„每一个时刻，对应个样本函数的取值{xi(t),i=1,2,…,n}是一个随机变量。„固定时刻t1的随机变量计为ξ(t1)。„随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。2010-9-2061随机过程的一般表述(2)„分布函数与概率密度„随机过程ξ(t)在任意时刻t1是一个随机变量ξ(t1)，其统计特性可以用分布函数与概率密度函数来表示„一维分布函数()(){}11111,FxtPtxξ=≤()()1111111,,Fxtfxtx∂=∂„一维概率密度2010-9-207()()()(){}12121122,,;,,,,,nnnnnFxxxtttPtxtxtxξξξ=≤≤≤KKK„n维分布概率函数„n维概率密度函数()()1212121212,,;,,,,;,,nnnnnnnnfxxxtttFxxxtttxxx∂=∂∂∂KKKKK„一维分布函数或概率密度函数仅描述了随机过程在任一瞬间的统计特性，进而可以对任意固定的n个时刻进行概率分布与概率密度的描述。显然n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。当然实际上是根据需要来确定维数的。2010-9-208„随机过程的n维分布函数或概率密度函数往往不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。„对于通信系统而言，随机过程的数字特征就可以满足需要，也会有明确定的物理含义，还可以测量。„如通信信号的方差就是交流功率。2010-9-2091随机过程的一般表述(3)„随机过程ξ(t)的数字特征[]()1(),()Etxfxtdxatξ∞−∞==∫„ξ(t)的均值或数学期望[][]{}2222()()()()()()DtEtEtEtattξξξξσ=−⎡⎤=−=⎣⎦t的引入说明随机变量、均值是时间的函数注意：ξ(t)的均值是时间的确定函数，它表示随机过程的n个（也可是无数个）样本函数曲线的摆动中心。„方差注：均值和方差只与一维概率密度函数有关，它们反映了随机过程各时刻的特征。2010-9-2010(){}()1211221212,()()()(),()()BttEtattatRttatatξξ=−−=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦„自协方差函数()()1212122121212,()(),;,RttEttxxfxxttdxdxξξ∞∞−∞−∞==⎡⎤⎣⎦∫∫„相关函数表征随机过程的内在联系，即随机过程任意两个时刻上的随机变量之间的关联程度。„自相关函数注：若随机过程的均值为0，则自相关函数和自协方差函数完全相同；即使均值不为0，二者描述的随机过程的特征也是一样的。常用自相关函数。2010-9-20111随机过程的一般表述(4)„两随机过程的数字特征()()1212122112212,()();;;RttEttxyfxtytdxdyξηξη∞∞−∞−∞==⎡⎤⎣⎦∫∫„互相关函数(){}()1211221212,()()()(),()()BttEtattatRttatatξηξηξηξηξη⎡⎤⎡⎤=−−⎣⎦⎣⎦=−„互协方差函数()1212,,,0ttBttξη∀=若有()()ttξη和不相关2010-9-20122平稳随机过程(1)„狭义平稳(严平稳)()()12121212,,;,,,,;,,,nnnnnnfxxxtttfxxxtttnττττ=+++∀KKKK，„一维分布与时间无关，二维分布只与时间间隔(t1-t2)有关()()()11111111;;fxtfxtfxτ=+=()()()212122121221212,;,,;,,;fxxttfxxttfxxttττ=++=−„数字特征[][]222()()()EtaDtEtaξξξσ⎧=⎪⎨⎡⎤=−=⎪⎣⎦⎩()()()()11211,,RttRBttRaττττ⎧+=⎪⎨+=−⎪⎩„广义平稳(宽平稳)[](1)()Etaξ=()()11(2),RttRττ+=2010-9-20132平稳随机过程(2)„各态历经性(遍历性)：随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态„随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表遍历过程必定是平稳过程，反之不然。遍历过程必定是平稳过程，反之不然。()22221lim()1()()lim()()TTTTTTxtxtdtTxtxtxtxtdtTττ+→∞−→∞−⎧=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩∫∫()()()()axtRxtxtττ⎧=⎪⎨=+⎪⎩遍历遍历时间平均代替统计平均时间平均代替统计平均„思考：为什么要研究随机平稳随机过程2010-9-20142平稳随机过程(3)„实平稳随机过程的自相关函数()2(0)EtRξ⎡⎤=⎣⎦()()RRττ=−()(0)RRτ≤„偶函数：„有界性：„周期性：()(),()().ttTRRTξξττ=+=+若则„统计平均功率：()2()EtRξ⎡⎤=∞⎣⎦„直流功率：2(0)()RRσ=−∞„交流功率：()()()limREttτξξτ→∞⎡⎤∞=+⎣⎦Q()()EtEtξξτ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦()2Etξ⎡⎤=⎣⎦2010-9-20152平稳随机过程(4)„平稳随机过程的功率谱密度(统计平均)()2()()limTxTEFPEPTξωωω→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦==⎡⎤⎣⎦()()TTtFω⇔注：f()0Pξω≥■()()RPξτω−⇔维纳辛钦定理：■()()102RPdξωωπ∞−∞=∫■„单边功率谱密度(实平稳随机过程)2(),0()0,0PGξξωωωω⎧=⎨⎩()012Gdξωωπ∞=∫()02Gfdfξπ∞=∫2010-9-2016图：功率信号与截断函数2010-9-20172平稳随机过程(5)()()[]00cos,0,2■tAtξωθωθπ=+例.为常数，上均匀分布的随机变量.计算其数字特征。()()0cos■atEAtωθ⎡⎤=+⎣⎦[][]00sincoscossintEtEωθωθ=[phone]coscossinsin22AtdAtdππωθθωθθππ=⋅−⋅∫∫00coscossinsinAEttωθωθ=⋅−⎡⎤⎣⎦0=()()()120102,coscos■RttEAtAtωθωθ⎡⎤=+⋅+⎣⎦()(){}2021012coscos22AEttttωωθ⎡⎤⎡⎤=⋅−+++⎣⎦⎣⎦()220210cos0cos22AAttωωτ=−−=其中τ=t2-t1ξ(t)数学期望是常数，自相关函数只与时间间隔有关，所以ξ(t)是广义平稳过程。2010-9-2018„其功率谱密度为：()()()()002PRξπωτδωωδωω⎡⎤⎡⎤==−++⎣⎦⎣⎦F■„ξ(t)的时间平均值如下：221limcos()0TcTTaAtdtTωθ−→∞=+=∫221()limcos()cos[()]TccTTRAtAtdtTτωθωτθ−→∞=+++∫222222limcoscos(22]2cos2TTcccTTTcAdttdtTAωτωωτθωτ−−→∞⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭=∫∫因此随机相位余弦波是遍历的。2010-9-20193高斯过程(1)„定义：任意n维概率密度是正态分布式()()12122121112,,;,,11exp22nnnnnjjkknjkjkjknfxxxtttxaxaσσπσσσ==⎡⎤⎛⎞−⎛⎞−=⋅−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑∑BBBKKL式中ak是均值，σ2是方差，│B│是规一化协方差矩阵。„概率密度函数仅取决于各随机变量的均值、方差和两两之间的归一化协方差函数(相关系数)2010-9-20201b12…b1nB211…b2nBn1bn2…1=B…………|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数，见(3.3－3)。3高斯过程(2)2010-9-2021„重要性质：„高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和规一化协方差，因此只需研究它的数字特征就可以了„广义平稳⇔狭义平稳„各随机变量之间互不相关⇔统计独立„高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。即线性系统的输入是高斯过程，则系统输出的也是高斯过程。2010-9-20223高斯过程(3)„一维正态分布()221()exp22xafxσπσ⎡⎤−⎢⎥=−⎢⎥⎣⎦„关于a对称：f(a+x)=f(a-x)„在点a处取极大值:12πσ1()()2aafxdxfxdx∞−∞==∫∫()()afxfxσ左右平移宽窄■112πσ1σ2σ12σσax()fx2010-9-20233高斯过程(4)„概率积分函数:xaσ−⎛⎞=Φ⎜⎟⎝⎠21()exp22xzxdzπ−∞⎛⎞Φ=−⎜⎟⎝⎠∫„标准化正态分布:21()exp22xfxπ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠„概率分布函数:()2221()2zaxFxedzσπσ−−−∞=∫2010-9-2024„误差函数与互补误差函数分别表示高斯密度函数曲线尾部下的面积202()xzerfxedzπ−=∫()1()erfcxerfx=−()221x=Φ−„误差函数:21()exp22auQaduπ∞⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∫122aerfc⎛⎞=⎜⎟⎝⎠„Q函数:22zxedzπ∞−=∫„互补误差函数:„Q函数也是一种表示高斯曲线尾部下的面积的函数。2010-9-20254窄带随机过程(1)1.窄带随机过程定义:随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度Δffc，且fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则如图2-4所示，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。　2010-9-20264窄带随机过程(2)£fcS(f)fffc(a)S(f)缓慢变化的包络[a(t)]频率近似为fc(b)2010-9-2027因此，窄带随机过程ξ(t)可用下式表示:　　ξ(t)=aξ(t)cos［ωct+φξ(t)］,aξ(t)≥0　等价式为ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct　其中ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t)　ξs(t)=aξ(t)sinφξ(t)　式中,aξ(t)及φξ(t)分别是ξ(t)的随机包络和随机相位，ξc(t)及ξs(t)分别称为ξ(t)的同相分量和正交分量。4窄带随机过程(3)2010-9-2028„同相分量和正交分量也是随机过程，显然它们的变化相对于载波cosωct的变化要缓慢得多。„由前4式看出，ξ(t)的统计特性可由aξ(t)，φξ(t)或ξc(t),ξs