常用信号的傅里叶变换

东南大学信息科学与工程学院1．?)(↔tδ由1)()(=δ=ω∫+∞∞−ω−dtetjFtj，而1()1?2jtftedωωπ+∞Δ−∞=⋅=∫∴1)(↔δt§3-6常用信号的傅里叶变换（广义F.T.广义谱）()tδΔ=广义定义⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ωπδ=πδ=ω∫∫∞+∞−ω±+∞∞−ω±)(2)(2dtetdetjtj或或⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫广义定义东南大学信息科学与工程学院2．?)(↔tε∫∫+∞ω−+∞∞−ω−=ε=ω0)()(dtedtetjFtjtj＝？东南大学信息科学与工程学院令)(lim)(0tettε=εα−→α，则ω+α=ω→αjjF1lim)(0而ω≠ω+α→αjj11lim0（)(tε非奇函数）由ω+ω+αα=ω+αω−ω+αα=ω→α→αjjjF1lim}{lim)(22022220东南大学信息科学与工程学院其中：)(0,00,lim220ωδ=⎩⎨⎧≠ω=ω∞=ω+αα→αA，而π=ωω+αα=∫+∞∞−→αdA220limωωπδεjt1)()(+↔3．直流?↔A东南大学信息科学与工程学院由)(2)(ωδπωωAdtAejFtj==∫+∞∞−−)(2ωδπ↔AA注：)(22)(ωδπωπωωπAdAjFdAn→→=直流4．符号函数1)(2)()(0,10,1)sgn(−=−−=⎩⎨⎧−=ttttttεεε东南大学信息科学与工程学院ωωπδωωπδjjt2)(2]1)([2)sgn(=−+↔§3-7周期信号的广义傅里叶变换东南大学信息科学与工程学院5．虚指数信号)(2)(2ctjctjcceeω+ωπδ↔ω−ωπδ↔ω−ω6．余弦)]()([cosccctω−ωδ+ω+ωδπ↔ω7.正弦)]()([)]()([sincccccjjtωωδωωδπωωδωωδπω−−+=+−−−↔8．周期信号TeAtfntjnnTπ=Ω=∑+∞−∞=Ω2,2)(东南大学信息科学与工程学院则∑∑+∞−∞=+∞−∞=Ω−ωδπ=Ω−ωπδ=ωnnnnTnAnAjF)()(22)(9．周期性冲激序列)(tTδ东南大学信息科学与工程学院TeAeTnTttfntjnnntjnnπδ2,21)()(=Ω==−=∑∑∑∞+−∞=Ω+∞−∞=Ω+∞−∞=其中，2,1,0,2)(2±±===Ω=nTjFTAnnωω∴∑∑∑∞+−∞=∞+−∞=+∞−∞=Ω−Ω=Ω−=Ω−=nnnnTnnTnAjF)()(2)()(ωδωδπωδπω东南大学信息科学与工程学院注：关于常用信号傅里叶变换的计算：（1）有F.T.的表可查；（2）常用F.T.性质求。东南大学信息科学与工程学院1.线性性质：∑∑ω↔iiiiiijFatfa)()(2.延时特性：000[()]()()|()|jtjtfttFjeFjeωωωωω−Φ−−↔=前提：设()()()|()|ijiiiftFjFjeϕωωω∃↔=§3-8傅里叶变换的基本性质信号时域波形与频域频谱的关系例：)]2()2([)(τ−ε−τ+ε=ttAtf门函数东南大学信息科学与工程学院∴22]1)([]1)([)(τω−τωω+ωπδ−ω+ωπδ=ωjjejAejAjF)2()2sin(2ωττ=ωτω=SaAA3．调制（移频）性质：ccjFetftjω−ω=ωωω↔|)()(（仅是ω频移，而非ωj）。东南大学信息科学与工程学院或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−−↔++−↔)]()([21sin)()]()([21cos)(ccccccjjFjjFjttfjjFjjFttfωωωωωωωωωω例：已知：)(21ωπδ↔，则)(2ctjceω+ωπδ↔ω−例：求)()cos(ttcεω的频谱)(1ωjF。东南大学信息科学与工程学院})(1)({21})(1)({21)(1ccccjjjFωωωωπδωωωωπδω−+−++++=)(4)}()({222cccjω−ωω+ω−ωδ+ω+ωδπ=东南大学信息科学与工程学院4．尺度变换（比例）性质：)(||10)(ajFaaatfω↔≠，东南大学信息科学与工程学院=τ常数B例：?)(0↔−tatf解：01010)(||1)()()()()(tajatgtjtgttfeajFaejFtfω−ω−=−ω→ω→东南大学信息科学与工程学院或0022)(||1)(||1)()()()(tajattgtgatfeajFaajFatfω−−=ω→ω→例：已知)(tf的带宽为B，求)63(−tf的带宽。东南大学信息科学与工程学院解：)63(−tf的带宽与)3(tf的带宽相等（∵延时不改变幅频）∴)63(−tf的带宽为B3。5．互易（对称）性质：若)()(ω↔jFtf，则)(2)(ω−π↔fjtF东南大学信息科学与工程学院常用则也是实偶实偶若)(2)(,)()()(ωπωωftFFjFtf↔=↔⇒或由F)(2)]([ωπ=ftF，得π=21)(tfFttF=ω|)]([例1：由1)(↔tδ，则)(2)(21ωπδωπδ⋅↔⇒↔AA东南大学信息科学与工程学院例2：求信号频谱，如)2()(2tSaAtfττ=，求)(ωjF由)2(2)2()(22τωτπ=τωτ↔SaASaBtF∴ABπ=2得)(ωjF如图例3：求原信号)(tf。东南大学信息科学与工程学院解：)(2)22(2)(11ωπ=ωω⋅ω↔fSatF则)()(11tSatfωπω={=π21FttF=ω|)]([}例4：求)(4tf。注：()()()FjFjeφωωω−=东南大学信息科学与工程学院解：与上例相比，)]([|)()(01140ttSatftfttt−ωπω==−=例5：求)(5tf。解法一：直接用互易定理。东南大学信息科学与工程学院解法二：（调制）ttftfcωcos2)()(5⋅=＝ttSacωωπωcos2)(11⋅东南大学信息科学与工程学院若再有1)6()(tcωωωϕ−=则)](cos[)]([2)()(1111156ttttSattftfc−−=−=ωωπω若又有27)(tω=ωϕ，则)cos()]([2cos)(2)(21147tttSattftfccωωπωω−==6．时域微积分性质（1）)()()(ωω↔jFjdttfdnnn；东南大学信息科学与工程学院（2）设)()(ω↔jGtg，则)()0()()(ωδπ+ωω↔ττ∫∞−GjjGdgt，其中∫+∞∞−=dttgG)()0(；（3）)()]()([])([)(ωδ−∞++∞π+ω↔ffjdttdfFtf东南大学信息科学与工程学院证：由（2）)()()(−∞+τττ=∫∞−fdddftft则)()(2)())((])([)(ωδ−∞π+ωδτττπ+ω=ω∫∞+∞−fdddfjdttdfFjF)()]()([])([ωδ−∞++∞π+ω=ffjdttdfF例2：三角脉冲的)(ωjF)('tf例1：由1)(↔δt则)(11)()(ωδπωττδε⋅⋅+↔=∫∞−jdttA东南大学信息科学与工程学院∴22)2()2()(τω−τωωτ−ωτ=ωjjeASaeASajG2sin2)2(ωτωτ=jASa∴0)0(=G∴)2()(1)(2ωττ=ωω=ωSaAjGjjF东南大学信息科学与工程学院7．频域微分性质：nnndjFdtfjtωω↔−)()()(特别：1=n时，ωω↔djdFjttf)()(东南大学信息科学与工程学院例：已知)()(ω↔jFtf实偶，求)1()1(tft−−的F.T.解：令)()(tgttf=，则ωω=ωdjdFjjG)()()2(11)()()(||1)1()1()1(00πωωωωωωωω+−−−=−=−=−↔−=−−=jjtatajedjdFedjdFjeajGatgtft8．卷积定理（1）时域卷积定理：)()()(*)(2121ωω↔jFjFtftf（2）频域卷积：)(*)(21)()(2121ωωπ↔jFjFtftf东南大学信息科学与工程学院例1：ωωωδπωωπδωεττjjGGjjGttgdgt)()()0(]1)()[()(*)()(+=+==∫∞−例2：)()(2*)(21)(cctjjjFjFetfcω−ω=ω−ωπδωπ↔ωB=B1+B2东南大学信息科学与工程学院例3：已知)(1tf的带宽为1B，)(2tf的带宽为2B，求)()(21tftf的带宽。解：例4：已知2)(1)(ω+α=ωjjF，求)(tf。东南大学信息科学与工程学院解法一：)(1)(1)(ω+α⋅ω+α=ωjjjF，∴)()(*)()(ttetetetftttε=εε=α−α−α−解法二：∵ω+α↔εα−jtet1)(而)()(1)1(2ttejjddjtε↔ω+α=ω+αωα−