高中数学第一章集合与函数127二次函数的图象和性质增减性和最值课件湘教版必修1

第1章——1.2函数的概念和性质1.2.7二次函数的图象和性质——增减性和最值[学习目标]1.了解二次函数的定义.2.掌握二次函数的图象及增减性和最值.1预习导学挑战自我，点点落实2课堂讲义重点难点，个个击破3当堂检测当堂训练，体验成功[知识链接]1.函数y＝x2－2x－3的对称轴为，该函数的递增区间为，递减区间为.2.函数y＝x2的最小值为.x＝1(1，＋∞)(－∞，1)0[预习导引]二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，当a＞0(a＜0)时，在区间(－∞，－]上递减(递增)，在[－，＋∞)上递增(递减)，图象曲线开口向，在x＝－处取到最小(大)值f(－)＝－，这里Δ＝b2－4ac.点(－，－)叫作二次函数图象的顶点.b2ab2ab2ab2aΔ4ab2aΔ4a上(下)要点一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数解析式.解方法一利用二次函数一般式.设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).则4a＋2b＋c＝－1，①a－b＋c＝－1，②4ac－b24a＝8.③由①②得b＝－a，则2a＋c＝－1，即c＝－2a－1.代入③整理得a2＝－4a，解得a＝－4，或a＝0(舍去).∴b＝4，c＝7.因此所求二次函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7.方法二利用二次函数顶点式.设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋－12＝12，即m＝12.又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝a(x－12)2＋8，∵f(2)＝－1，∴a(2－12)2＋8＝－1.解之得a＝－4.∴f(x)＝－4(x－12)2＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三利用两根式.由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1.故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，∴4a－2a－1－a24a＝8.解之得a＝－4.∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.规律方法用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f(x)＝ax2＋bx＋c(一般式)、f(x)＝a(x－x1)·(x－x2)(两根式)、f(x)＝a(x－m)2＋n(顶点式).跟踪演练1已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x.求f(x)的解析式.解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，f(x－1)＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c，又f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x，∴2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2＋4x，∴2a＝2，2b＝4，2a＋2c＝0，∴a＝1，b＝2，c＝－1，∴f(x)＝x2＋2x－1.要点二二次函数的增减性例2f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是递增函数，求m的取值范围.解函数的顶点横坐标为x＝m8，又函数在区间[－2，＋∞)上是递增函数，∴m8≤－2，即m≤－16，故m的取值范围是{m|m≤－16}.规律方法f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在(－∞，－b2a]上是递减函数，在[－b2a，＋∞)上是递增函数.跟踪演练2已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；解当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，1∈[－5,5].∴当x＝1时，f(x)min＝1；当x＝－5时，f(x)max＝37.(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数.解f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，其顶点横坐标为x＝－a.∵f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a≤－5或－a≥5.故a的取值范围是a≤－5或a≥5.要点三求二次函数的值域或最值例3求函数y＝x2－2ax－1在[0,2]上的值域.解①当a＜0时，ymin＝f(0)＝－1，ymax＝f(2)＝4－4a－1＝3－4a，所以函数的值域为[－1,3－4a].②当0≤a≤1时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)，ymax＝f(2)＝3－4a，所以函数的值域为[－(a2＋1)，3－4a].③当1＜a≤2时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)，ymax＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[－(a2＋1)，－1].④当a＞2时，ymin＝f(2)＝3－4a，ymax＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[3－4a，－1].规律方法在求二次函数的最值时，要注意定义域是R还是区间[m，n]，若是区间[m，n]，最大(小)值不一定在顶点取得，而应该看顶点横坐标是在区间[m，n]内还是在区间的左边或右边.在区间的某一边时应该利用函数的增减性求解，最值不在顶点上取得，而在区间的端点上取得.跟踪演练3已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，其图象顶点横坐标为x＝1，开口向上，∴当x∈[0,4]时，∴f(x)max＝f(4)＝42－2×4＋2＝10，f(x)min＝f(1)＝1.(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值；解∵f(x)的顶点横坐标为x＝1，开口向上，∴f(x)在[2,3]上为增函数，∴f(x)min＝f(2)＝22－2×2＋2＝2，f(x)max＝f(3)＝32－2×3＋2＝5.(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).解g(t)＝t2－2t＋2，t＞11，0≤t≤1t2＋1，t＜0.12341.若f(x)＝(m－1)x2＋(m＋1)x－1是二次函数，则()A.m为任意实数B.m≠1C.m≠－1D.m≠1且m≠－1解析由m－1≠0，得m≠1，故选B.B12342.函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为()A.42,12B.42，－14C.12，－14D.无最大值，最小值为－141234解析∵f(x)＝(x＋32)2－14，x∈(－5,5)，∴当x＝－32时，f(x)有最小值－14，f(x)无最大值.答案D12343.函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是___________________.－34]和[0，34](－∞，12344.已知函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈(－∞，－1]时是递减函数，则m的取值范围是____________.解析f(x)＝2(x－m4)2＋3－m28，－1≤m4，即m≥－4.[－4，＋∞)课堂小结二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要掌握熟练，特别是含参数的两类“定轴动区间、定区间动轴”，解法是：抓住“三点一轴”数形结合，三点指定的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴.具体做法是：首先要采用配方法，化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n).其次对区间进行讨论，可分成三个类型：(1)顶点固定，区间也固定.(2)顶点含参数(即顶点为动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外.(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数.