3.xls 三维波动方程初值问题

Autumn2013Instructor:[e-mail]721,ShangxianBuildingSchoolofMathematics&Statistics,NUISTPartialDifferentialEquations§3.2三维波动方程初值问题三维齐次波动方程的球对称解三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法泊松公式的物理意义三维非齐次波动方程的初值问题和推迟势2.三维波动方程初值问题基本思路：将三维问题转化为一维问题三维波动方程可描述声波、电磁波和光波等在空间中的传播，称为球面波。考虑初值问题其中满足一定的光滑性条件。23300(),(,,),0(2.1)(,,),(,,),(,,)ttxxyyzztttuauuuxyzRtuxyzuxyzxyzR2.1三维齐次波动方程的球对称解,引入球坐标系即sincos,sinsin,cosxryrzr(,,),r0,0,02,r则方程(2.1)可化为2222222111sin(2.2)sinsinttuuarrrruurr所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心为原点)，即与和无关。(,,,)(,)uxyzturt故当u是球对称函数时，方程(2.2)可化为22,0,0(2.3)ttrruuaurtrr或者等价地写成22()(2)(),ttttrrrrrruruaruuaru令ru=v,则有其通解可表示为2,ttrrvav()(),0,0,vFratGratrt其中F(r+at)是沿r负方向传播，为收敛波，G(r-at)是沿r正方向传播的行波，为发散波。从而，()()(,),0,0,FratGraturtrtr其中F,G是任意两个二阶连续可微函数。若考虑初始条件(,0)(),(,0)(),0,(2.4)turrurrr则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解1[()()()()]21(),;2(,)1[()()()()]21(),00.2atrratratratatraratratratratrdarurtratratrratarrtratd2.2三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法(1)主要结果一维齐次波动方程的达朗贝尔解11(,)[()()]+()22xatxatuxtxatxatda可改写成1()21()2(,)+xatxatxxtataddatxttttaut其中为初始位移在上的算术平均值，1()2xatxatdat[,]xatxat为初始速度在上的算术均值[,]xatxat1()2xatxatdat受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初始函数和的平均值，分别为222211(,,),(,,).44MMatatSSdSdSatat则问题(2.1)的解应该是(待证)222211(,,,)(,,)+(,,)44MMatatSSuxyzttdStdStatat221(,,)1(,,)+,(2.5)44MMatatSSdSdSattat其中为M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面。MatS为简化计算，将公式(2.5)在球坐标下化为累次积分，球面的方程为MatS2222()()()().xyzat设为球面上的点，则(,,)Psincos,sinsin,cos,xatyatzat——三维齐次波动方程初值问题的Poisson公式22sindSatdd于是222220022222001(,,,)(,,)sin41+(,,)sin4uxyzttatddtattatddat200200(sincos,sinsin,4cos)sin(sincos,4sinsin,cos)sin.(2.6)txatyatttzatddxatyatzatdd(2)Poisson公式(5)的推导推导思路——球平均法一般情况下，ru未必满足一维波动方程。设法找一个与u有关的球对称函数通过把u求出来。,uu考虑u在球面上的平均值，即MrS1211(,)(,,,),(2.7)44MMrSSurtudSutdr其中sincos,sinsin,0,0,02,cos,xryrrzr是球面上的点的坐标，是单位球面上的面积元，且有，则MrS22sindSrddrd0(,)(,,,)lim(,)(0,)ruMtuxyzturtut——球平均法下面证明满足一维波动方程ru2[(,)][(,)](2.8)ttrrrurtarurt设表示中心在M的半径为r的球域。对方程(2.1)的两边在上积分，并利用高斯公式及(2.7)，有MrBMrB2[()()()]MMrrttxxyyzzBBudxdydzauuudxdydzd22(,,)MMrrxyzSSuauuundSadSn122224.MSuuardarrr另一方面，由于220MMrrttBSudxdydzudSdt1222222004,MrrSuddudtt故有222220.ruudartr此式两端关于r求导，有22222().uruartrr于是满足22222,uaurtrrru即22222()().ruruatr所以(,)()()(2.9)rurtFratGrat即满足一维波动方程。ru对(2.9)两边分别关于r和t求导，有()()(,)()(),ruururtFratGratrr1()()(),ruFratGratat将此二式相加，得()1()()1(,)2(),ruruuururtFratratrat令有0,r(,,,)(0,)2().uxyztutFat另一方面，在上式中取t=0，有0()1()2()truruFrrat22011144MMrrSStrudSrudSrratr01144MMrrtSStuudSdSrrar11.44MMrrSSdSdSrrar从而，用at取代r，Poisson公式得证。定理1.若则Poisson公式(2.5)表达的u(x,y,z,t)在内二阶连续可微，且为三维齐次波动方程初值问题的古典解。33(,,),(,,),xyzCxyzC3(0,)R例1.求解初值问题233(),(,,),0(,,,0),(,,,0)0,(,,)ttxxyyzztuauuuxyzRtuxyzxyzuxyzxyzR解.由Poisson公式(2.6)得2001(,,,)4(sincossinsincos)]sin}uxyzttxyztatdd2001()sin4txyzddt22200(sincos)sinatdd2200sincosatdd.xyz例2.求解初值问题233(),(,,),0(,,,0),(,,,0),(,,)ttxxyyzztuauuuxyzRtuxyzyzuxyzxzxyzR解.法一.此处由Poisson公式(2.6)得200(,,,)1sin(sinsin)(cos)4uxyzttyatzatddt,,yzxz2001sin(sincos)(cos)4xatzatdd20022200221sin(sinsincos4sincossin)sin(4cossincossincoscos).tyzzatyatttatddxzxatzatatdd由三角函数的周期性和正交性，有2200sincos0,dd00cossincos0.dd因此00(,,,)12sin2sin44uxyztttyzdxzdt.yztxz法二.由于定解问题是线性的，故可由叠加原理，令123,uuuu其中分别满足如下定解问题123,,uuu1211010,,00,,tttxxttuaxRtuxuuxRz2220022,,0,0,yytttttuuyzuayRtuyR3330032,,0,0,0zztttttuuuazRtuzR由达朗贝尔公式可分别求得以上三个定解问题的解，为11,2xatxatuzdxzta21[()()],2uzyatzyatyz30,u因此.uxztyz2.3泊松公式的物理意义由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点t时刻的值，由以M为中心，at为半径的球面上的初始值而确定。MatS这是由于初值的影响是以速度a在时间t内从球面上传播到M点的缘故。MatS设初始扰动限于空间某区域内，(即在外),记d和D分别为M点到区域的最近和最远距离，则0,0(1)当时，即时，与不相交，上的初始函数为0，故u(M,t)=0。这说明扰动的前锋尚未达到M点。atddtaMatS,MatS(2)当即时，上的初始函数不为0，故u一般不为0。这表明扰动正在经过M点。,datDdDtaaMatS,(3)当时，即时，与也不相交，因而同样u(M,t)=0，这说明扰动的阵尾已传过M点，M又恢复到静止状态。atDDtaMatS三维空间的初始局部扰动，在不同的时间内对空间每一点发生影响，且波的传播有清晰的前锋和阵尾，这种现象物理上称为惠更斯(Huygens)原理或无后效现象。现实生活中声音的传播就是一例：从某处发出声音，经过一段时间后，才能听到，再经过一段时间之后恢复到静止状态。例3.高空大气中有一半径为1的球形薄膜，薄膜内的压强超过大气的数值为假定该薄膜突然消失，将会在大气中激起三维波，试求球外任意位置的附加压强P。0,P解.设薄膜球心到球外任意一点的距离为d，则其定解问题为2303(),(,,),0,1,(,,,0)(,,,0)0,(,,)0,1,ttxxyyzztPaPPPxyzRtPdPxyzPxyzxyzRd当时，由泊松公式(2.5)有11datd21(,,)(,,,)4MatSPxyztdSatt22202001sin4Pdatdatt2021[2(1cos)]4Patat22