基本不等式(一)

§3.4基本不等式（一）2002年第24届国际数学家大会在北京举行2002年国际数学家大会会标这是在北京召开的第２４届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计。颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。ADCBHFGEab22ba22ba1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’=＿＿ab2３、S与S’有什么样的不等关系？探究１：SS′22baab2问：那么它们有相等的情况吗？即ADBCEFGHba22ab猜想：一般地，对于任意实数a、b，有当且仅当a=b时，等号成立。222ababACBE(FGH)abD22baab2(a≠b)22baab2(a＝b)＝思考：你能给出不等式的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以≥222.abab所以≥时当ba时当ba222abab≥证明：（作差法）2)(ba什么时候等号成立呢？重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立222abab≥代数意义为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,b∈R0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab≥2abab≥替换后得到：即：)0,0(ba2abab≥即：你能证明这个不等式成立吗？abba2证明不等式：)0,0(ba要证：只要证：要证②，只要证要证③，只要证ab①②③④0ab2()0④式显然成立.当且仅当a=b时，④中的等号成立.分析法：执果索因abba22ab2abab思考：利用不等式性质推导的证明吗？2222222bababaabba0)(2ba0)(2ba时当ba时当baabba20)(2ba所以abba2所以证明：（作差法）时当0,0ba我们得到不等式：(0,0)2ababab≤当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2abab代数意义为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a0,b0几何平均数算术平均数不等式你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB，BCDC所以DCAC2DCBCACab所以ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.2abab≥几何意义：半径不小于半弦长。ADBEOCab适用范围文字叙述“=”成立条件222abab≥a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra0,b0填表比较：特别注意：两个不等式的适用范围及“=”成立条件abba2√√××解释：x0解释：a1,b1若不成立，你能给出不等式成立的条件吗？？？4、判断正误：xx21)1(2（）21)2(xxbabalglg2lglg)3(22)4(baab（）（）（）知识点一：基本不等式应用例1：已知：,0,ba，且ba，判断baab2与ab的大小.解：2baab且,0,,baba.2abbaabbaababbaab22作商法12222ababbaababbaab解：abba2abba211abababbaabab222,02得两边同乘以baba且,0,.22baabbaab由小到大的顺序是babaab1122.2112baabba2baab且小试牛刀：练1：已知1ba，baPlglg，baQlglg21，2lgbaR，试比较P、Q、R的大小。01lglglg,1baba为它们的几何平均值的算术平均值，为PbaQlg,lg,lglg21lglg21ababbaQ又解：.QPabbabaR2,2lg而.PQRQR底数大于1的对数函数在其定义域内是单调递增函数知识点二：（用基本不等式证明不等式）例2：已知0,0ba，求证：2baab.0,0ba22abbaabba证：0,0abba.时，等号成立即当且仅当baabba你能给出不等式成立的更一般条件吗？0ab渐露锋芒：练2：已知：1x，求证：514xx。.01,1xx,141xx当且仅当证：.511412114114xxxxxx.3时，等号成立即x练3：已知2x，223429xx.042,2xx配凑法.22324294221时，等号成立即当且仅当xxx解：22324294221224294221429xxxxxx练3：已知2x，223429xx.解：,42xt令换元法0,2tx2224ttx2232922922429ttttxx.223223,92时，等号成立即则当且仅当xttt一题多解：（1）（2）(当且仅当a=b时，等号成立)小结评价你会了吗？1.本节课主要学习了两个不等式的证明与初步应用。2.两个重要的不等式：22R,2,()abababab那么当且仅当时取号(0,0)2ababab3.注意成立的条件⑴a、b是两个正数.⑵当且仅当a=b时“＝”号成立’我们积累了知识,于枯燥中见奇,于迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在成功之中，就能领略到公式平静的美。