计算流体力学(中科院力学所)-第2讲-双曲型方程组

计算流体力学讲义第二讲双曲型方程组及间断解李新亮[e-mail]；力学所主楼219；82543801知识点：双曲型方程组边界条件提法双曲型方程的特征方程双曲型方程的间断解及熵条件Riemann间断解1讲义、课件上传至(流体中文网）-“流体论坛”-“CFD基础理论”第2讲双曲型方程组及其间断解0xtf(U)U§2.4双曲型方程及其数学性质0txUUATmuuu),......,(21U考虑方程组：令：Uf(U)A1.双曲方程边界条件的提法如果矩阵A能通过相似变换对角化双曲型CopyrightbyLiXinliang2Tmuuuxt),......,(021UUAU1)一阶常系数偏微方程组如果矩阵A可以被对角化：ΛSSA1),......,(21mdiagSUV0xtUΛSSU10xtUΛSUS令：有0xtVΛV即：0xvtvjjjm个方程完全解耦，可独立求解有m条特征线：0txjm个特征相容关系式：.constvj如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型的CopyrightbyLiXinliang3双曲方程边界条件提法0xvtvjjj变换成为了彼此独立的n个单波方程方法：独立给定j个方程的边界条件如果j0,则在左端给定vj的边界条件如果j0,则在右端给定vj的边界条件特点：左、右边界总共给定n个边界条件，各自的个数视特征值的符号确定ABj=1j=2可推广到一般的双曲型方程组0xtUAUCopyrightbyLiXinliang4条件描述边界条件设定超音速入口给定3个边界条件亚音速入口给定2个边界条件超音速出口无需给定边界条件亚音速出口给定1个边界条件2）一维Euler方程0xtF(U)UTEuU),,(upEpuu)(2F(U)UF(U)AΛSSA1),,(321diagcucuu321,,对于左边界：cuandu0cuandu0cuandu0cuandu0CopyrightbyLiXinliang5知识点Tmuuuxt),......,(0)(21UUUAU变系数方程组的情况ΛSSA1令：0xtUΛSSU10xtUΛSUS0)(xtUΛUSm1S...令（行向量）0)(xtkkUUω在x-t空间引入曲线：0)(xUtUjkjkjj)()(kksttsxx0kjkjjdsdUkkkstdsdx/满足：kkkdsdttdsdxxdsd2.双曲型方程组的特征方程CopyrightbyLiXinliang6（变系数情况）虽然不能解耦，但还能转换成常微方程0212111uu对于两自变量情况,可化为：0222121uudRdudu2*1211*111如果存在积分因子，使得dSdudu2*2221*2120R0S则有：)(RR)(SSRiemann不变量CopyrightbyLiXinliang7沿特征线：Riemann不变量保持不变2个常微方程常见情况讨论:一维等（均）熵运动例如，膨胀波0xUBtUuUucuB/2cu2,1矩阵B的特征值ccS0])([])([0])([])([xucutuxcutcxucutuxcutc0ddcdducudtdx/沿特征线1：有：dcuR令：则有0/ddcdduddR沿特征线1：R不变同理，沿特征线2：dcuS212保持不变1212cuScuR对于等熵完全气体cudtdx/Riemann不变量CopyrightbyLiXinliang8知识点，牢记！xcutdd)(第1个方程转化为),(uRRRuuRddR寻找积分因子：cRuR;1一维均熵流动沿特征线Riemann不变量保持不变例2.1：有限振幅波的传播问题othersconstxxxxxuuba)(,0)(),(,0考虑一维无粘流动（Euler方程），初始时刻（t=0）流动状态如下：试分析t=t0时刻的流动状态（假设流场不出现间断）xu-50510-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81t=0t=1t=2xu-50510-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015t=3t=1t=4t=2t=01DEulerwithinitialdisturbanceu=0.01sin(x)不同时刻的速度分布（A=1）不同时刻的速度分布（A=0.01）)sin(005.0)sin(005.0),(ctxctxtxu思考题：小扰动的传播情况？1)0,(;1)0,(020sin)0,(xpxothersxxAxu数值解xt（1）（2）（3）（4）利用特征线，分析不同区域的差异等（均）熵情况下，同族特征线不会相交CopyrightbyLiXinliang9目的：学会如何运用Riemann不变量解题CopyrightbyLiXinliang10xu-50510-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81t=0t=1t=2xu-50510-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015t=3t=1t=4t=2t=01DEulerwithinitialdisturbanceu=0.01sin(x)1)0,(;1)0,(020sin)0,(xpxothersxxAxu一维扰动波的传播（上：A=1;下：A=0.01）基本解题思路：利用特征关系123cudtdx/cudtdx/xt))(())((232223131113ttcuxxttcuxx解出x1,x2利用Riemann不变量得：2233113312121212cucucucu解出33,cuxt（1）（2）（3）（4）区域（2），（4）未扰动区域（1）内的流动使用基本方法计算区域（3）内的计算可简化ABDCEFG(3)区内的波传播速度为常数，且在传播过程中物理量保持不变——简单波特征线为直线)(),()(),(22112211xccxccxuuxuu注意：因而方程是非线性的给定x3,t3利用CopyrightbyLiXinliang11（假设t3充分小）解出t3时刻的流场，继续推进下个时刻概念：简单波区域（3）内扰动波的传播特点xt（1）（2）（3）（4）考虑（3）区内的,同属一条特征线M上的任意两个点4和5：123452244114412121212cucucucu2255335512121212cucucucu由于点1和点3均在未扰动区：021021;cccuuu5544554412121212cucucucuM5454ccuu在（3）区内，所有物理量（u,c）沿特征线M不变特征保持直线，特征波传播速度不变简单波CopyrightbyLiXinliang123.双曲型方程的间断解双曲方程的特点：扰动波传播速度有限可能产生间断弱间断：函数连续，但导数间断（如稀疏波的波头、波尾）强间断：函数本身间断（如激波、接触间断）流体力学控制方程：积分型（假设函数连续、光滑）微分型间断处虽然无法满足微分型方程，但积分型方程（三大守恒律）仍然满足nVnVnVnnnVVnnVVnVnV2112121222211122211121)()()()()()(pzEpzVEpzpzzz例：激波两侧关系原则：连续区需满足微分方程间断两侧必须满足积分方程CopyrightbyLiXinliang13z111,,pu222,,pu4.双曲型方程的弱解及熵条件1）弱解0,,0)(txxuftu)()0,(xxu若u(x,t)在除有限条间断外连续可微且满足方程（1）；且在间断线满足：（1）dtduuffCopyrightbyLiXinliang14()xt()xt则称u(x,t)是方程（1）的弱解xt(,)uuxtuu“间断处满足积分方程”()0Vufudxdttx任意控制体Green公式充分小的积分路线两侧均视为常值DDffxduutdtxt()xtt,uf,uf(1)0udfutdux间断传播的速度ddfffdtduuu快速记忆法：0)()()(tffuudtufudxD0)(DdtufudxCopyrightbyLiXinliang15弱解不是唯一的例：0,,0)(txxuftu22uf0，10,1)0,(xxxu弱解：0，10,1),(xxtxuxttxttxtxtxu，1，，1),(xttxxttxtxu，10，20，2，1),(dtduuffxt时刻的分布：全部都满足11ffduudt002ffduudt0???0ffuuxxt物理模型三个全都是弱解dtduufuuufufuuff1)()()()()(lim000000022uf0,,0)(txxuftu初始条件：0，10,1)0,(xxxuxttxttxtxtxu，1，，1),(物理解：概念：双曲型方程（1）的“物理解”)0()(22xuxuftu0当：时收敛到的解CopyrightbyLiXinliang162）熵条件定理：若u(x,t)是（1）的弱解，且在间断处满足：wuwfufuuufufwuwfuf)()()()()()(其中w是介于u+及u-之间的任意值。则u(x,t)是唯一的物理解。物理含义：特征线汇聚间断x()uux特征线(斜率u)0，10,1),(xxtxu不满足熵条件，非物理特征线汇聚，形成间断特性线向间断处汇聚满足熵条件0uuutxdxudt特征线特性线从间断处发散不满足熵条件§2.5Riemann间断解1.问题的提出0)()(0)()(0)(2xpuEutExputuxutEuler方程初始间断的传播问题0,,0,,),,(:0222111xpuxpuput典型例子：Sod激波管问题2222211111222211112211)()()()()()