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理科数学试题第1页(共4页)2016年高考模拟数学试题(全国新课标卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i为虚数单位,复数ii13=A.i2B.i2C.2iD.2i2.等边三角形ABC的边长为1,如果,,,BCaCAbABc那么abbcca等于A.32B.32C.12D.123.已知集合}4|4||{2xxZxA,}8121|{yNyB,记Acard为集合A的元素个数,则下列说法不正确...的是A.5cardAB.3cardBC.2)card(BAD.5)card(BA4.一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的侧视图的面积为A.63B.8C.83D.125.过抛物线24yx的焦点作直线交抛物线于点1122,,,PxyQxy两点,若126xx,则PQ中点M到抛物线准线的距离为A.5B.4C.3D.26.下列说法正确的是A.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件B.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件C.事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大D.事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小7.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的S为A.1030020(())axaxaax的值B.3020100(())axaxaax的值C.0010230(())axaxaax的值D.2000310(())axaxaax的值输入开始01230,,,,aaaax33,kSa输出S结束0k0kSaSx1kk否是理科数学试题第2页(共4页)8.若(9x-13x)n(n∈N*)的展开式的第3项的二项式系数为36,则其展开式中的常数项为A.252B.-252C.84D.-849.若S1=121xdx,S2=12(lnx+1)dx,S3=12xdx,则S1,S2,S3的大小关系为A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S1<S3<S2D.S3<S1<S210.在平面直角坐标系中,双曲线221124xy的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点。若△FAB的面识为83,则直线l的斜率为A.13132B.21C.41D.7711.已知三个正数a,b,c满足acba3,225)(3bcaab,则以下四个命题正确的是p1:对任意满足条件的a、b、c,均有b≤c;p2:存在一组实数a、b、c,使得bc;p3:对任意满足条件的a、b、c,均有6b≤4a+c;p4:存在一组实数a、b、c,使得6b4a+c.A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p412.四次多项式)(xf的四个实根构成公差为2的等差数列,则()fx的所有根中最大根与最小根之差是A.2B.23C.4D.52理科数学试题第3页(共4页)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题-21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题-24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题包括4小题,每小题5分.13.某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位:百万元).x24568y304060t70根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为y^=6.5x+17.5,则表中t的值为.14.已知函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,π2]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则ω的取值集合为.15.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S-ABC的体积为.16.等比数列{an}中,首项a1=2,公比q=3,an+an+1+…+am=720(m,n∈N*,m>n),则m+n=.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明:(1)coscosbCcBa;(2)22sincoscos2CABabc.18.(本小题满分12分)直三棱柱111CBAABC的所有棱长都为2,D为CC1中点.(1)求证:直线BDAAB11平面;(2)求二面角BDAA1的大小正弦值;19.(本小题满分12分)对某交通要道以往的日车流量(单位:万辆)进行统计,得到如下记录:日车流量x50x105x1510x2015x2520x25x频率0.050.250.350.250.100将日车流量落入各组的频率视为概率,并假设每天的车流量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率;(2)用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数,求X的分布列和数学期望.理科数学试题第4页(共4页)20.(本小题满分12分)已知椭圆C:)0(12222babyax的焦距为2且过点)23,1(.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若椭圆C的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,FF,求该平行四边形面积的最大值.21.(本小题满分12分)设函数xcbxaxxfln)(2,(其中cba,,为实常数)(1)当1,0cb时,讨论)(xf的单调区间;(2)曲线)(xfy(其中0a)在点))1(f1(,处的切线方程为33xy,(ⅰ)若函数)(xf无极值点且)('xf存在零点,求cba,,的值;(ⅱ)若函数)(xf有两个极值点,证明)(xf的极小值小于43-.请考生在22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲.如图AB是圆O的一条弦,过点A作圆的切线AD,作BCAC,与该圆交于点D,若23AC,2CD.(1)求圆O的半径;(2)若点E为AB中点,求证,,OED三点共线.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy中,曲线1C的参数方程为22cos()sin2xy是参数,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为1sincos.(1)求曲线1C的普通方程和曲线2C的直角坐标方程;(2)求曲线1C上的任意一点P到曲线2C的最小距离,并求出此时点P的坐标.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲.设函数()|2|fxxaa.(1)若不等式()6fx≤的解集为{|23}xx≤≤,求实数a的值;(2)在(1)条件下,若存在实数n,使得()()fnmfn≤恒成立,求实数m的取值范围.理科数学试题第5页(共4页)2016年高考模拟数学试题(全国新课标卷)参考答案一、选择题:本大题包括12小题,每小题5分。1-12BDAABBCCABCD二、填空题:13.5014.{13,23,1}15.43316.9三、解答题:17.证法一:(余弦定理法)(1)22222222coscos222abcacbabCcBbcaabaca(2)222222223223222coscos2222()2acbbcaABacbcabababacaabbcbababcabcababc222222212sin1cos2222acbCCababcaccccabc,所以等式成立证法二:(正弦定理法)(1)在ABC中由正弦定理得2sin,2sinbRBcRC,所以coscos2sincos2sincos2sin()2sinbCcBRBCRCBRBCRAa(2)由(1)知coscosbCcBa,同理有coscosaCcAb所以coscoscoscosbCcBaCcAab即2(coscos)()(1cos)()2sin2CcBAabCab所以22sincoscos2CABabc18.解:(1)取BC中点O,连结AO.ABC为正三角形,BCAO111CBAABC直棱柱11BBCCABC平面平面且相交于BC11BBCCAO平面取11CB中点1O,则11//BBOOBCOO1以O为原点,如图建立空间直角坐标系xyzO,理科数学试题第6页(共4页)则)0,0,1(,0,2,1,3,0,0,3,2,0,0,1,1,0,0,111CBAADB3,2,1,0,1,2,3,2,111BABDAB0,0111BAABBDAB,111,BAABBDAB.1AB平面1ABD.(2)设平面ADA1的法向量为zyxn,,.0,2,0,3,1,11AAAD.,,1AAnADn0203yzyx令1z得1,0,3n为平面ADA1的一个法向量.由(1)3,2,11AB为平面1ABD的法向量.46,cos1ABn.所以二面角BDAA1的大小的正弦值为410.19.解:(Ⅰ)设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”,A2表示事件“日车流量低于5万辆”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”.则P(A1)=0.35+0.25+0.10=0.70,P(A2)=0.05,所以P(B)=0.7×0.7×0.05×2=0.049(Ⅱ)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率分别为027.0)7.01()0(303CXP,189.0)7.01(7.0)1(213CXP,441.0)7.01(7.0)2(223CXP,343.07.0)3(333CXP.X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343因为X~B(3,0.7),所以期望E(X)=3×0.7=2.1.理科数学试题第7页(共4页)20.解:(1)由已知可得,1491,2222222babac解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的标准方程是13422yx.(2)由已知得:122FF,由于四边形ABCD是椭圆的内接四边形,所以原点O是其对称中心,且122ABCDABFFSS四边形121121222AFFAFBAFFBFFSSSS122ABADFFyyyy,当直线AD的斜率存在时,设其方程为1ykx,代入椭圆方程,整理得:2222344120kxkxk,由韦达定理得:22228412,3434ADADkkxxxxkk,∴2222222221441434ADADADADkkyykxxkxxxxk,∴2222222144189226163434ABCDADkkkSyykk,当直线AD的斜率不存在时,易得:331,,1,22AD,∴26ABCDADSyy,综上知,符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是6.21.解:(1)当1,0cb时xaxxaxxf1212)('2,)0(x………1分当0a时,0)('xf很成立,)(xf在),0(上是增函数;………2分当0a时,令0)('xf得ax21或ax21(舍)………3分令0)('xf得ax210;令0)('xf得ax21)(xf在上)21,0(a是增函数,在),21(a上是减函数………4分GODCBAF1F2yx理科数学试题第8页(共4页)(2)(i)xcbaxxf2)('由题得
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