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-1-1999年全国普通高等学校招生统一考试(理工农医类)数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第II卷3至8。共150分。考试时间120分钟。第I卷(选择题共60分)注意事项:l.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A或B)用铅笔涂写在答题卡上。2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后。再选涂其它答案,不能答在试题卷上。3.考试结束。监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式:三角函数的积化和差公式sinα=cosβ[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα=sinβ[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα=cosβ[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα=sinβ[cos(α+β)-cos(α-β)]正棱台、圆台的侧面积公式:S台侧=(c'+c)L/2其中c'和c表示圆台的上下底面的周长,L表示斜高或母线长。台体的体积公式:其中s,s'分别表示上下底面积,h表示高。一、选择题:本大题共14小题;第1—10题每小题4分,第11—14题每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。-2-1.如图,I是全集,M、P、S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是A.(M∩P)∩SB.(M∩P)∪SC.(M∩P)∩D.(M∩P)∪2.已知映射f:AB,其中,集合A={-3,-2,-1,l,2,3,4,},集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是{a},则集合B中元素的个数是A.4B.5C.6D.73.若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab≠0,则g(b)等于A.aB.a-1C.bD.b-14.函数f(x)=Msin(ωx+ρ)(ω0)在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(ωx+ρ)在[a,b]上A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值MD.可以取得最小值-M5.若f(x)sinx是周期为∏的奇函数,则f(x)可以是A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x6.在极坐标系中,曲线ρ=4sin(θ-π/3)关于A.直线θ=π/3轴对称B.直线θ=6/5π轴对称C.点(2,π/3)中心对称D.极点中心对称7.若于毫升水倒人底面半径为2cm的圆杜形器皿中,量得水面的高度为6cm,若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是8.若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为A.lB.-1C.0D.2-3-9.直线x+y2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为A.π/6B.π/4C.π/3D.π/210.如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF//AB,EF=3/2,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积为A.9/2B.5C.6D.15/211.若sinatgactga(-π/2aπ/2),则a∈A.(-π/2,-π/4)B.(-π/4,0)C.(0,π/4)D.(π/4,π/2)12.如果圆台的上底面半径为5.下底面半径为R,中截面把圆台分为上、下两个圆台,它们的侧面积的比为1:2,那么R=A.10B.15C.20D.2513.已知两点M(1,5/4)、N(-4,-5/4),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0②x2+y2=3③x2/2+y2=1④x2/2-y2=1在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是A.①③B.②④C.①②③D.②③④14.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有A.5种B.6种C.7种D.8种第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:1.第II卷共6页。用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。-4-2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。二、填空题:本大题共4小题;每小图4分,共16分把答案填在题中横线15.设椭圆x2/a2+y2/b2=1(ab0)的右焦点为F1,右准线为l1。若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是___________________。16.在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A、B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A、B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有________________种(用数字作答)。17.若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是_______________。18.α、β是两个不同的平面,m、n是平面及之外的两条不同直线。给出四个论断:①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:______________________________________________________。三、解答题:本大题共6小题:共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19.(本小题满分10分)解不等式20.(本小题满分12分)设复数z=3cosθ+i·2sinθ,y=θ-argZ(0θπ/2)求函数的最大值以及对应的θ值21.本小题满分12分如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1,点E在棱D1D上,截面EACD1B,且面EAC与底面ABcD所成的角为45°,AB=a(Ⅰ)求截而EAC的面积:(Ⅱ)求异面直线A1B1与AC之间的距离;-5-(Ⅲ)求三棱锥B1—EAC的体积22.(本小题满分12分)上图为一台冷轧机的示意图;冷轧机由若干对轧辊组成。带钢从一端输人,经过各对轧辊逐步减薄后输出。(1)输入带钢的厚度为a,输出带钢的厚度为β,若每对轧辊的减薄率不超过ro,问冷轧机至少需要安装多少对轧辊?(一对辊减薄率=输入该对的带钢厚度-从该对输出的带钢厚度)输入该对的带钢厚度(2)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有轧辊周长均为1600mm。若第k对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为LK。为了便于检修,请计算L1、L2、L3并填人下表(轧钢过程中,带钢宽度不变沮不考虑损耗)(23)(本小题满分14分)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线。当n≤y≤n+1(n=0,1,2...)时,该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1),设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,...)定义(1)求X1、X2和xn的表达式;(2)求f(x)的表达式,并写出其定义域:(3)证明:y=f(x)的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。-6-(24)(本小题满分14分)如图,给出定点A(a,0)(a〉0)和直线l:x=-1,B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。-7-1999年全国普通高等学校招生统一考试(理工农医类)数学参考答案说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。第(1)-第(10)题每小题4分,第(11)-(14)题每小题5分,满分60分。(1)C(2〕A(3〕A(4)C(5)B(6)B(7)D(8)A(9)C(10)D(11)B(12)D(13)D(14)C二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分(15)1/2(16)12(17)[9,+∞](18)m⊥a,n⊥β,a⊥β==m⊥n或m⊥n,m⊥a,m⊥β==a⊥β三、解答题(19)本小题主要考查对数函数的性质,对数不等式、无理不等式解法等基础知识,考查分类论的思想,满分10分解:原不等式等价于————一一一一4由①得logax≥2/3-8-由②得logax3/4,或logax1,由③得logax1/2.由此得2/3≤logax3/4,或logax1.——一一一一8分当a1时得所求的解是{x|≤x}U{x|xa};当0a1时得所求的解集是:{x|x≤}U{x|0xa}.——一一一一10分(20)本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识,考查综合运用所学数学知识解决问题的能力,满分12分。解:由0<θ<π/2得tgθ>0。由z=3cosθ+i·2sinθ,得0<argz<π/2及tg(argz)=2sinθ/3cosθ=2/3tgθ.故tgy=tg(θ-argz)=(tgθ-2/3tgθ)/(1+2/3tg2θ)=1/(3/tgθ+2tgθ)∵3/tgθ+2tgθ≥2∴1/(3/tgθ+2tgθ)≤/12.当且仅当3/tgθ=2tgθ(0θπ/2时,即tgθ=/2时,上式取等号。所以当θ=arctg/2时,函数tgy取最大值/12。由y=-argθz得y∈(-π/2,π/2).由于在(-π/2,π/2)内因正切函数是递增函数,函数y也取最大值arctg/12.12分(21)本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念思维能力、空间想象能力及运算能力。满分12分。(1)解:如图,连结DB交AC于O,连结EO。∵底面ABCD是正方形-9-∴DO⊥AC。又∵ED⊥底面AC,∴EO⊥AC。∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角,----2分∴∠EOD=45°。DO=(2)1/2/2a,AC=(2)1/2a,Eo=[(2)1/2a·sec45°]/2=a.故S△EAC=(2)1/2×a2/24分(II)解:由题设ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,得A1A⊥底面AC,A1A⊥AC。又A1A⊥A1B1,∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线。----6分∵D1B∥面EAC,且面D1BD与面EAC交线为EO,∴D1B∥EO。又O是DB的中点,∴E是D1D的中点,D1B=2ED=2a。异面直线A1B1与AC间的距离为(2)1/2a。----8分(III)解法一:如图,连结D1B1。∵D1D=DB=(2)1/2a,∴BDD1B1是正方形。连结B1D交D1B于P,交EO于Q。∵B1D⊥D1B。EO∥D1B,∴B1D⊥EO-10-又AC⊥EO,AC⊥ED,∴AC⊥面BDD1B1∴B1D⊥AC∴B1D⊥面EAC。∴B1Q是三棱锥B1-EAC的高。----10分由DQ=PQ,得B1Q=3B1D/4=3a/2。∴VB1-EAC=(1/3)·[(2)1/2a2/2]·(3/20=(2)1/2·a3/4.所以三棱锥了-EAC的体积是(2)1/2·a3/4.----12分解法二:连结B1O,则VB1-EAC=2VA-EOB1。∵AO⊥面BDD1B1,∴AO是三棱锥A-EOB1的高,AO=(2)1/2·a/2在正方形BDD1B1中,E、O分别是D1D、DB的中点(如右图),则S△EOB1=3a2/4.∴VB1-EAC=2×(1/30×(3a2/4)×[(2)1/2a/2}=(2)1/2·a3/4.所以三棱锥B1-EAC的体积是(2)1/2·a3/4.----12分。(22)本小题主要考查等比数列,对数计算等基本知识,考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力,满分14分。(I)解:厚度为a的带钢经过减薄率均为ro的n对轧辊后厚度为a(1-ro)n.为使出带钢的厚度不超过β,冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满足a(1-ro)n≤β,即(1-r
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