1993年全国高考数学试题

1一九九三年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共18个小题;每小题3分，共54分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内。（1）若双曲线实半轴长为2，焦距为6，那么离心率是（C）（A）23（B）26（C）23（D）2（2）函数xtgxtgy212122的最小正周期是（B）（A）4（B）2（C）（D）2（3）当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时，圆锥的轴截面顶角是（A）450（B）600（C）900（D）1200（C）（4）当21iz时，150100zz的值等于（D）（A）1（B）-1（C）i（D）-i（5）直线bx+ay=ab(a0,b0)的倾斜角是（C）（A）)(abarctg（B）)(baarctg（C）)(abarctg（D）)(baarctg（6）在直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB（B）（A）有最大值21和最小值0（B）有最大值21，但无最小值（C）即无最大值也无最小值（D）有最大值1，但无最小值（7）在各项均为正数的等比数列}{na中，若965aa，则2313loglogaa103loga（B）2（A）12（B）10（C）8（D）5log23（8）)0)(()1221()(xxfxFx是偶函数，且)(xf不恒等于零，则)(xf（A）是奇函数（B）是偶函数(A）（C）可能是奇函数也可能是偶函数（D）不是奇函数也不是偶函数（9）曲线的参数方程为)50(.1,2322ttytx，则曲线是（A）（A）线段（B）双曲线的一支（C）圆弧（D）射线（10）若ba,是任意实数，且ba，则（D）（A）22ba（B）1ab（C）0)lg(ba（D）ba)21()21(（11）已知集合}sin|{},20,sincos|{tgFE，那么FE为区间（A）（A）),2(（B）)43,4(（C）)23,(（D）)45,43(（12）一动圆与两圆：x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为（C）（A）抛物线（B）圆（C）双曲线的一支（D）椭圆（13）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是．．（A）三棱锥（B）四棱锥（C）五棱锥（D）六棱锥（D）（14）如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（A）（A）3)6(l（B）3)3(l（C）3)4(l（D）3)4(41l（15）由1003)23(x展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有（B）（A）50项（B）17项（C）16项（D）15项3（16）设cba,,都是正数，且cba643，那么（B）（A）bac111（B）bac122（C）bac221（D）bac212（17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（B）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种（18）已知异面直线ba与所成角为500，P为空间一定点，则过点P且与ba,所成的角都是300的直线有且仅有（B）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条二．填空题：本大题共6小题;每小题3分，共18分。把答案填在题中横线上。（19）抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为34，则焦点到AB的距离为________________.[答]：2（20）在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为1200。若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为________m（精确到0.1m）.[答]：17.3（21）在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共_________种（用数字作答）.[答]：4186（22）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池。如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为4_______元.[答]：1760（23）设124)(xxxf，则)0(1f=__________[答]：1（24）已知等差数列}{na的公差d0，首项niiinaaSa111,1,0则nnSlim____________[答]：da11三．解答题：本大题共5小题;共48分.解答应写出文字说明、演算步骤。（25）（本小题满分8分）解不等式.01log)5(log2221xx解：原不等式等价于.41,0,5.0)]5(41[log,0,0521xxxxxxxx或解得所以原不等式的解集为}54|{}10|{xxxx（26）（本小题满分8分）如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱，过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作L。（Ⅰ）判定直线A1C1和L的位置关系，并加以证明;（Ⅱ）若A1A=1，AB=4，BC=3，∠ABC=900，求顶点A1到直线L的距离。5解：（Ⅰ）L∥A1C1证明如下：根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行。由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1，直线L=平面A1B1C1∩平面A1BC1，根据两平面平行的性质定理有L∥A1C1（Ⅱ）过点A1作A1E⊥L于E，则A1E的长为点A1到L的距离。连接AE，由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影。又L在平面ABC上，根据三垂线定理的逆定理有AE⊥L由棱柱的定义知A1C1∥AC，又L∥A1C1，∴L∥AC作BD⊥AC于D，则BD是Rt△ABC斜边AC上的高，且BD=AE，从而512ACBCABBDAE在Rt△A1AE中，∵A1A=1，∠A1AE=900，∴.5132121AAAEEA故点A1到直线L的距离为.513（27）（本小题满分10分）A1C1B1ADELCB6在面积为1的△PMN中，2,21tgNtgM.建立适当的坐标系，求出以M，N为焦点且过点P的椭圆方程。解：建立直角坐标系如图：以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴设所求的椭圆方程为12222byax分别记M、N、P点的坐标为（-c,0),(c,0)和(x0,y0)∵tgα=tg(π-∠N）=2∴由题设知)(2)(210000cxycxy解得)34,35(343500ccPcycx即在△PMN中，MN=2cMN上的高为c34∴S△PMN=)332,635(,23134221Pccc即3152)(||2020ycxPM315)(||2020ycxPN3215)||(|21222cabPNPMa从而故所求椭圆方程为1315422yx（28）（本小题满分12分）YPαMONX7设复数,2arg,33||,1)(1),0(sincos44已知zziz求。解：4sin4cos1)4()4cos(1]sin[cos1)]sin()[cos(144iii,121125,332)2(,26arg),6sin6(cos33,12712,332)1(,033|2|||)4cos4(sin22cos2sin22cos22cos2sin22sin222或得时当适合题意得这时都有或得时当故有tgitgtgitgii舍去不适合题意得这时都有,,2611arg),611sin611(cos33i.12712)2(),1(或可知综合（29）（本小题满分10分）已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β.证明：（Ⅰ）如果|α|2,|β|2,那么2|a|4+b且|b|4;（Ⅱ）如果2|a|4+b且|b|4,那么|α|2,|β|2.证法一：依题意，设二次方程有两个实根,，所以判别式.042ba不妨取)(21)(21aa（Ⅰ）4||||,2||,2||b8bababaabaaabaaaaa4||2),4(48)4(4,8164,8164,40,40.2)(21),(2122222由此得平方得且（Ⅱ）,4|)|4(21||,4||,4||2babba.2||,2||,22,44.4,0,)4(168)4||2(44;042222得得又且aaaaaaaabaa证法二：（Ⅰ）根据韦达定理4||||b因为二次函数baxxxf2)(开口向上，.2||,2||故必有,0)2(f.4||2.42,024);4(2,024bababababa（Ⅱ）由0244||2baba得)1(,0)2(,0222fba即)2(0)2(,0)2()2(0242fbaba即及由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间（-2，2）之内或者在区间（-2，2）之外若两根α，β均落在（-2，2）之外则与4||||b矛盾若α（或β）落在（-2，2）外，则由于4||||b，另一根β（或α）9必须落在（-2，2）内，则与（1），（2）式矛盾综上所述α，β均落在（-2，2）内.2||,2||文科试题一．选择题：本题共18个小题;每小题3分，共54分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内。（1）若双曲线实半轴长为2，焦距为6，那么离心率是（C）（A）23（B）26（C）23（D）2（2）函数xtgxtgy212122的最小正周期是（B）（A）4（B）2（C）（D）2（3）当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时，圆锥的轴截面顶角是（A）450（B）600（C）900（D）1200（C）（4）当21iz时，150100zz的值等于（D）（A）1（B）-1（C）i（D）-i（5）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是．．（A）三棱锥（B）四棱锥（C）五棱锥（D）六棱锥（D）（6）在直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB（B）（A）有最大值21和最小值0（B）有最大值21，但无最小值（C）即无最大值也无最小值（D）有最大值1，但无最小值10（7）在各项均为正数的等比数列}{na中，若965aa，则2313loglogaa103loga（B）（A）12（B）10（C）8（D）5log23（8）)0)(()1221()(xxfxFx是偶函数，且)(xf不恒等于零，则)(xf（A）（A）是奇函数（B）是偶函数（C）可能是奇函数也可能是偶函数（D）不是奇函数也不是偶函数（9）设直线032yx与y轴的交点为P，点P把圆25)1(22yx的直径分为两段，则其长度之比为（A）（A）7337或（B）7447或（C）7557或（D）7667或（10）若ba,是任意实数，且ba，则（D）（A）22ba（B）1ab（C）0)lg(ba（D）ba)21()21(（11）已知集合}sin|{},20,sincos|{tgFE，那么FE为区间（A）（A）),2(（B）)43,4(（C）)23,(（D）)45,43(（12）一动圆与两圆：x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为（C）（A）抛物线（B）圆（C）双曲线的一支（D）椭圆（13）若直线ax+by+c=0在第一、二、三象