3-3走向高考数学章节

《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页考纲解读1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．考向预测以选择题、填空题为主考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页知识梳理1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[a，b]的函数y＝f(x)，将[a，b]区间分成n份，分点为：a＝x0x1x2…xn－1xn＝b.第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ηi，使f(ηi)在区间[xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(η1)Δx1＋f(η2)Δx2＋…＋f(ηi)Δxi＋…＋f(ηn)Δxn.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页其中∫叫做积分号，a叫作，b叫作，f(x)叫作．积分下限积分上限被积函数《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页3．定积分的运算性质《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页5．利用牛顿——莱布尼兹公式求定积分的关键是，可将基本初等函数的导数公式逆向使用．求被积函数的原函数《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页6．定积分在几何中的应用《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页7．定积分在物理中的应用(1)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝。(2)变力作功公式一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)(单位：m)，则力F所作的功为W＝《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页基础自测A．－2ln2B．2ln2C．－ln2D．ln2[答案]D1．(2010·湖南理)241xdx等于()[解析]因为(lnx)′＝1x，所以241xdx＝lnx|24＝ln4－ln2＝ln2.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页A．πB．2C．π－2D．π＋2[答案]D[解析]本小题主要考查定积分等基础知识．2．(2009·福建理)∫π2－π2(1＋cosx)dx等于()∫π2－π2(1＋cosx)dx＝(x＋sinx)π2－π2＝π＋2，故选D.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页3．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如右图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页[解析]考查读图识图能力和曲线的变化率．由图像可知，曲线v甲比v乙在0～t0和0～t1之间与x轴围成面积都大，故在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页[答案]B4．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c0)围成图形的面积是23，则c的值为()A．2B.12C．3D.13[解析]由y＝x2y＝cx3得x＝0或1c，∴围成图形面积S＝∫1c0|x2－cx3|dx＝23，解得c＝12.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页5．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若01f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．[答案]33[解析]本题考查定积分知识．由01f(x)dx＝01(ax2＋c)dx＝(13ax3＋cx)|01＝13a＋c＝f(x0)＝ax02＋c(a≠0)，∴x02＝13，又∵0≤x0≤1，∴x0＝33.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页[答案]16．若01(2x＋k)dx＝2，则k＝________.[解析]01(2x＋k)dx＝(x2＋kx)|01＝1＋k∴1＋k＝2∴k＝1.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页7．求定积分1－1f(x)dx，其中f(x)＝sinx－1x≤0x2x0.[解析]1－1f(x)dx＝0－1f(x)dx＋01f(x)dx＝0－1(sinx－1)dx＋01x2dx＝(－cosx－x)|－10＋13x3|01＝cos1－2＋13＝cos1－53.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页[例1]求下列定积分：(1)02(3x2＋4x3)dx；(2)∫π20sin2x2dx；(3)求函数f(x)＝x3，x∈[0，1]，x，x∈[1，2]，2x，x∈[2，3]在区间[0,3]上的积分．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页[分析]对于(1)(2)，可首先找出一个原函数，然后利用微积分基本定理求解；(3)为分段函数，在[0,3]上的积分可分成几段积分的和的形式．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页[点评](1)求函数f(x)的定积分，关键是求出函数f(x)的一个原函数F(x)，即满足F′(x)＝f(x)．正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系．(2)分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．(3)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页[分析]先由定积分的性质将其分解成各简单函数的定积分，再利用牛顿—莱布尼兹公式求解．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页[解析](1)12(x2＋2x＋1)dx＝12x2dx＋122xdx＋121·dx＝x33|12＋x2|12＋x|12＝193.(2)0π(sinx－cosx)dx＝0πsinxdx－0πcosxdx＝(－cosx)|0π－sinx|0π＝2.(3)12x－x2＋1xdx＝12xdx－12x2dx＋121xdx＝x22|12－x33|12＋lnx|12《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页[点评](1)求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求出函数f(x)的一个原函数，要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系．(2)求复杂函数定积分要依据定积分的性质．①有限个函数代数和的积分，等于各个函数积分的代数和，《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页即ab[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx±…±abfn(x)dx.②常数因子可提到积分符号外面，即abkf(x)dx＝kabf(x)dx.③当积分上限与下限交换时，积分值一定要变号，即abf(x)dx＝－baf(x)dx.④积分区间的可加性，若c∈[a，b]则有abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页[例2]利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．[分析]先将区域面积表示成若干个定积分的和或差，再运用牛顿—莱布尼兹公式计算．(1)y＝0，y＝x，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示：S＝A1＋A2.A1由y＝x，y＝－x，x＝1围成；A2由y＝x，y＝x－2，x＝1围成．∴A1＝01[x－(－x)]dx，A2＝14[x－(x－2)]dx，∴S＝012xdx＋14(x－x＋2)dx《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页＝201xdx＋14xdx－14xdx＋142dx＝2×23x32|01＋23x32|14－12x2|14＋2x|14＝2×23＋23×432－23－12×42－12＋2×4－2＝43＋163－23－8＋12＋6＝6－8＋12＋6＝412.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页[点评]用定积分计算平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状，选择积分函数，再确定积分上、下限，当计算公式S＝ab|f(x)－g(x)|dx中的f(x)或g(x)是分段函数时，面积要分块计算．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页[分析]需根据面积求出切点坐标．这又需要画出函数y＝x2(x≥0)及切线的图形，再根据定积分的几何意义，求函数y＝x2(x≥0)的定积分，从而确定相关图形的面积，即可求出切点坐标，其他问题便可顺利解决．在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为112.试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页[解析]如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，得过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x02.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页令y＝0，得x＝x02，即Cx02，0.设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，S曲边△AOB＝∫x00x2dx＝13x3|x00＝13x03，S△ABC＝12|BC|·|AB|＝12x0－x02·x02＝14x03.所以S＝13x03－14x03＝112x03＝112.所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第三章导数及其应用首页上页下页末页[点评]求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出曲线交点的横坐标，定出积分的上、下限；