高考数学圆锥曲线专题复习

-1-圆锥曲线一、知识结构1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则f1(x0,y0)=0点P0(x0,y0)是C1，C2的交点f2(x0,y0)=0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.-2-2.圆圆的定义：点集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.圆的方程：(1)标准方程圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-2D,-2E），半径是24F-ED22.配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D)2+(y+2E)2=44F-ED22当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-2D,-2E);当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=2020b)-(ya)-(x.(3)直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交有两个公共点直线与圆相切有一个公共点直线与圆相离没有公共点②直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22CBbAaBA与半径r的大小关系来判定.-3-3.椭圆、双曲线和抛物线基本知识椭圆双曲线抛物线轨迹条件{M｜｜MF1｜+｜MF2｜=2a,｜F1F2｜＜2a}{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.圆形标准方程22ax+22by=1(a＞b＞0)22ax-22by=1(a＞0,b＞0)y2=2px(p＞0)顶点A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)O(0,0)轴对称轴x=0,y=0长轴长：2a短轴长：2b对称轴x=0,y=0实轴长：2a虚轴长：2b对称轴y=0焦点F1(-c,0),F2(c,0)焦点在长轴上F1(-c,0),F2(c,0)焦点在实轴上F(2P，0)焦点对称轴上焦距｜F1F2｜=2c，c=b2-a2｜F1F2｜=2c,c=b2a2准线x=±ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.离心率e=ac,0＜e＜1e=ac,e＞1e=1曲线性质-4-4.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.当0＜e＜1时，轨迹为椭圆，当e=1时，轨迹为抛物线当e＞1时，轨迹为双曲线5.坐标变换坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则x=x′+hx′=x-h(1)或(2)y=y′+ky′=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-(xa+22k)-(yb=1(±c+h,k)x=±ca2+hx=hy=k22h)-(xb+22k)-(ya=1(h,±c+k)y=±ca2+kx=hy=k双曲线22h)-(xa-22k)-(yb=1(±c+h,k)=±ca2+kx=hy=k22k)-(ya-22h)-(xb=1(h,±c+h)y=±ca2+kx=hy=k抛物线(y-k)2=2p(x-h)(2p+h,k)x=-2p+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)(-2p+h,k)x=2p+hy=k(x-h)2=2p(y-k)(h,2p+k)y=-2p+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,-2p+k)y=2p+kx=h-5-二、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简.特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：.椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：.(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；.(4)了解圆锥曲线的初步应用。四．对考试大纲的理解高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题,1个填空题,1个解答题),共计22分左右,考查的知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主,难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。-6-求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.【例题】【例1】双曲线2224byx=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________.解：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜317,又∵c2=4+b2＜317,∴b2＜35,∴b2=1.【例2】已知圆C1的方程为3201222yx，椭圆C2的方程为12222byaxab0，C2的离心率为22，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。解：由.,2,22,222222cbcaace得设椭圆方程为.122222bybx设).1,2().,().,(2211由圆心为yxByxA.2,42121yyxx又,12,12222222221221bybxbybxyxC1F2F1OAB-7-两式相减，得.022222122221byybxx,0))((2))((21212121yyyyxxxx又.1.2.421212121xxyyyyxx得)..2(1xyAB的方程为直线即3xy将得代入,1232222bybxxy.021812322bxx.07224.22bCAB相交与椭圆直线由.3204)(222122121xxxxxxBA得.3203722422b解得.82b故所有椭圆方程.181622yx【例3】过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A、B两点，直线y=21x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.解法一：由e=22ac,得21222aba,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,.)(221212121yyxxxxyy设AB中点为(x0,y0),则kAB=－002yx,又(x0,y0)在直线y=21x上，y0=21x0,于是－002yx=－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),BAy=12xoyxF2F1-8-byxbxybxy111221解得则由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=89,1692a.∴所求椭圆C的方程为2291698yx=1,l的方程为y=－x+1.解法二：由e=21,22222abaac得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=22214kk,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－2212kk.直线l：y=21x过AB的中点(2,22121yyxx),则2222122121kkkk,解得k=0，或k=－1.若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.解法3：设椭圆方程为)1()0(12222babyax直线l不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线ABxy过21中点矛盾。故可设直线)2()1(xkyl的方程为整理得：消代入y)1()2()3(02)(2222222222bakaxakxbak)()(2211yxByxA，，设，22222212bakakxx知：代入上式得：又kxxkyy2)(212121221xxkk，212222222akbakkk，2122ka