2014年高考理科数学试题及答案-全国卷2

2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}URAxxBxx，则集合()UCAB（）A．{|0}xxB．{|1}xxC．{|01}xxD．{|01}xx2.设复数z满足(2)(2)5zii，则z（）A．23iB．23iC．32iD．32i3.已知132a，21211log,log33bc，则（）A．abcB．acbC．cabD．cba4.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若//,//,mn则//mnB．若m，n，则mnC．若m，mn，则//nD．若//m，mn，则n5.设,,abc是非零向量，学科网已知命题P：若0ab，0bc，则0ac；命题q：若//,//abbc，则//ac，则下列命题中真命题是（）A．pqB．pqC．()()pqD．()pq6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）A．144B．120C．72D．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．82B．8C．82D．848.设等差数列{}na的公差为d，若数列1{2}naa为递减数列，则（）A．0dB．0dC．10adD．10ad9.将函数3sin(2)3yx的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间7[,]1212上单调递减B．在区间7[,]1212上单调递增C．在区间[,]63上单调递减D．在区间[,]63上单调递增10.已知点(2,3)A在抛物线C：22ypx的准线上，学科网过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．12B．23C．34D．4311.当[2,1]x时，不等式32430axxx恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[5,3]B．9[6,]8C．[6,2]D．[4,3]12.已知定义在[0,1]上的函数()fx满足：①(0)(1)0ff；②对所有,[0,1]xy，且xy，有1|()()|||2fxfyxy.若对所有,[0,1]xy，|()()|fxfyk，则k的最小值为（）A．12B．14C．12D．18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x，则输出y.14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)ABCD分别在抛物线2yx和2yx上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是.15.已知椭圆C：22194xy，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则||||ANBN.16.对于0c，当非零实数a，b满足224240aabbc，且使|2|ab最大时，345abc的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，且ac，已知2BABC，1cos3B，3b，求：（1）a和c的值；（2）cos()BC的值.18.（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望()EX及方差()DX.19.（本小题满分12分）如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且2ABBCBD，0120ABCDBC，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证：EFBC；（2）求二面角EBFC的正弦值.20.（本小题满分12分）圆224xy的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线22122:1xyCab过点P且离心率为3.（1）求1C的方程；（2）椭圆2C过点P且与1C有相同的焦点，直线l过2C的右焦点且与2C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求l的方程.21.（本小题满分12分）已知函数8()(cos)(2)(sin1)3fxxxxx，2()3()cos4(1sin)ln(3)xgxxxxx.证明：（1）存在唯一0(0,)2x，使0()0fx；（2）存在唯一1(,)2x，使1()0gx，且对（1）中的01xx.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（1）求证：AB为圆的直径；（2）若AC=BD，求证：AB=ED.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221xy上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线:220lxy与C的交点为12,PP，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1fxxx，2()1681gxxx，记()1fx的解集为M，()4gx的解集为N.（1）求M；（2）当xMN时，证明：221()[()]4xfxxfx.参考答案一、选择题1.D2.A3.C4.B5.A6.D7.B8.C9.B10.D11.C12.B二、填空题13.29914.2315.1216.-2三、解答题17.解：（Ⅰ）由2BABC得cos2caB，又1cos3B，所以6ac，由余弦定理，得2222cosacbacB又3b，所以2292213ac解22613acac，得2,3ac或3,2ac因为ac，所以3,2ac（Ⅱ）在ABC中，22122sin1cos1()33BB由正弦定理，得22242sinsin339cCBb因abc，所以C为锐角，因此22427cos1sin1()99CC于是cos()coscossinsinBCBCBC1722422339392718.解：（Ⅰ）设1A表示事件“日销售量不低于100个”，2A表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”，因此1()(0.0060.0040.002)500.6PA2()0.003500.15PA()0.60.60.1520.108PB（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为033(0)(10.6)0.064PXC，123(1)0.6(10.6)0.288PXC，223(2)0.6(10.6)0.432PXC，333(3)0.60.216PXC，分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB（3，0.6），所以期望()30.61.8EX，方差()30.6(10.6)0.72DX19.（Ⅰ）证明：方法一：过点E做EOBC，垂足为O，连接OF由ABCDBC可证出EOCFOC，所以2EOCFOC，即FOBC又EOBC,EOFOO，所以BC平面EFO，又EF平面EFO，所以方法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线，并将其作为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线，并将其作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得(0,0,0)B，(0,1,3)A，(3,1,0)D，(0,2,0)C，因而13(0,,)22E，31(,,0)22F，所以33(,0,)22EF，(0,2,0)BC，因此0EFBC从而EFBC，所以EFBC（Ⅱ）方法一：在图1中，过点O做OGBF，垂足为G，连接EG，因为平面ABC平面BDC，所以EO面BDC，又OGBF，所以由三垂线定理知EGBF，因此EGO为二面角EBFC的平面角在EOC中，113cos30222EOECBC由BGOBFC知，34BOOGFCBC，因此tan2EOEGOOG从而得25sin5EGO即二面角EBFC的正弦值为255方法二：在图2中，平面BFC的一个法向量为1(0,0,1)n设平面BEF的法向量2(,,)nxyz，又3113(,,0),(0,,)2222BFBE，所以220,0,nBFnBE得其中一个2(1,3,1)n设二面角EBFC的大小为，且由题知为锐角，则1212121cos|cos,|||||5nnnnnn因此25sin5，即所求二面角EBFC的正弦值为25520.解：（Ⅰ）设切点坐标为0000(,)(0,0)xyxy，则切线斜率为00xy，切线方程为0000()xyyxxy，即004xxyy，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482Sxyxy，由22000042xyxy知，当且仅当002xy时00xy有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(2,2)由题意知，222222213ababa解得221,2ab，故1C的方程为2212yx（Ⅱ）由（Ⅰ）知2C的焦点坐标为(3,0),(3,0)，由此设2C的方程为22221113xybb，其中10b由(2,2)P在2C上，得22112213bb解得213b，因此2C方程为22163xy显然，l不是直线0y，设l的方程为3xmy，点1122(,),(,)AxyBxy，由223163xmyxy得22(2)2330mymy，又12,yy是方程的根，因此12212222232myymyym①由11223,3xmyxmy，得1212222121212243()232663()32xxmyymmxxmyymyym②因1122(2,2),(2,2)APxyBPxy，由题意知0APBP，所以121212122()2()40xxxxyyyy③将①②代入③式整理得222646110mm解得3612m或3612m，因此直线l的方程为36(1)302xy或36(1)302xy21.证明：（Ⅰ）当(0,)2x时，2()(1sin)(2)2cos03fxxxxx，函数()fx在(0,)2上为减函数，又2816(0)0,()0323ff，所以存在唯一0(0,)2x，使0()0fx（Ⅱ）考虑函数3()cos2()4ln(3),[,]1sin2xxhxxxx令tx，则[,]2x时，[0,]2t记3cos2()()4ln(1)1sinttuthttt