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绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)数学(供理科考生使用)第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)复数的11Zi模为(A)12(B)22(C)2(D)2(2)已知集合4|0log1,|2AxxBxxAB,则A.01,B.02,C.1,2D.12,(3)已知点1,3,4,1,ABAB则与向量同方向的单位向量为(A)3455,-(B)4355,-(C)3455,(D)4355,(4)下面是关于公差0d的等差数列na的四个命题:1:npa数列是递增数列;2:npna数列是递增数列;3:napn数列是递增数列;4:3npand数列是递增数列;其中的真命题为(A)12,pp(B)34,pp(C)23,pp(D)14,pp(5)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是(A)45(B)50(C)55(D)60(6)在ABC,内角,,ABC所对的边长分别为,,.abc1sincossincos,2aBCcBAb,abB且则A.6B.3C.23D.56(7)使得13nxnNnxx的展开式中含有常数项的最小的为A.4B.5C.6D.7(8)执行如图所示的程序框图,若输入10,nS则输出的A.511B.1011C.3655D.7255(9)已知点30,0,0,,,.ABC,OAbBaa若为直角三角形则必有A.3baB.31baaC.3310babaaD.3310babaa(10)已知三棱柱1116.34ABCABCOABAC的个顶点都在球的球面上若,,,ABAC112AAO,则球的半径为A.3172B.210C.132D.310(11)已知函数222222,228.fxxaxagxxaxa设12max,,min,,max,HxfxgxHxfxgxpq表示,pq中的较大值,min,pq表示,pq中的较小值,记1Hx得最小值为,A2Hx得最小值为B,则AB(A)2216aa(B)2216aa(C)16(D)16(11)设函数222,2,0,8xeefxxfxxfxfxfxx满足则时,(A)有极大值,无极小值(B)有极小值,无极大值(C)既有极大值又有极小值(D)既无极大值也无极小值第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.(13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是.(14)已知等比数列13nnnaSanaa是递增数列,是的前项和.若,是方程26540xxS的两个根,则.(15)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为,FC与过原点的直线相交于,AB两点,4,.10,6,cosABF,5AFBFABAFCe连接若则的离心率=.(16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)设向量3sin,sin,cos,sinx,0,.2axxbxx(I)若.abx求的值;(II)设函数,.fxabfx求的最大值18.(本小题满分12分)如图,.ABPAC是圆的直径,垂直圆所在的平面,是圆上的点(I)求证:PACPBC平面平面;(II)2.ABACPACPBA若,1,1,求证:二面角的余弦值19.(本小题满分12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.20.(本小题满分12分)如图,抛物线2212002:4,:20.,CxyCxpypMxyC点在抛物线上,1MC过作0,,.12ABMOABOx的切线,切点为为原点时,重合于当时,1-.2MA切线的斜率为(I)P求的值;(II)2MCABN当在上运动时,求线段中点的轨迹方程,,.ABOO重合于时中点为21.(本小题满分12分)已知函数321,12cos.0,12exxfxxgxaxxxx当时,(I)求证:11-;1xfxx(II)若fxgx恒成立,a求实数的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,.ABOCDOEADCDD为直径,直线与相切于垂直于于,BC垂直于,.CDCEFFAEBE于,垂直于,连接证明:(I);FEBCEB(II)2.EFADBC23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C,直线2C的极坐标方程分别为4sin,cos22.4.(I)12CC求与交点的极坐标;(II)112.PCQCCPQ设为的圆心,为与交点连线的中点已知直线的参数方程为33,,.12xtatRabbyt为参数求的值24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数,1.fxxaa其中(I)=244;afxx当时,求不等式的解集(II)222|12,xfxafxxx已知关于的不等式的解集为.a求的值2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)解析一选择题:1.【答案】B【解析】由已知111,(1)(1)22iZiii所以2||2Z2.【答案】D【解析】由集合A,14x;所以(1,2]AB3.【答案】A【解析】(3,4)AB,所以||5AB,这样同方向的单位向量是134(,)555AB4.【答案】D【解析】设1(1)naanddnm,所以1P正确;如果312nan则满足已知,但2312nnann并非递增所以2P错;如果若1nan,则满足已知,但11nann,是递减数列,所以3P错;34nanddnm,所以是递增数列,4P正确5.【答案】B【解析】第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2,所以低于60分的频率是0.3,设班级人数为m,则150.3m,50m。6.【答案】A【解析】边换角后约去sinB,得1sin()2AC,所以1sin2B,但B非最大角,所以6B。7.【答案】B【解析】通项521(3)()3nrrnrrrnrnnCxCxxx,常数项满足条件52nr,所以2r时5n最小8.【答案】A【解析】211ssi的意义在于是对211i求和。因为21111()2111iii,同时注意2ii,所以所求和为1111111[()()()]21335911=5119.【答案】C【解析】显然角O不能为直角(否则得0a不能组成三角形)若A为直角,则根据A、B纵坐标相等,所以30ba;若B为直角,则利用1OBABKK得310baa,所以选C10.【答案】C计算AM=52,【解析】由球心作面ABC的垂线,则垂足为斜边BC中点M。由垂径定理,OM=1162AA,所以半径R=22513()62211.【答案】B【解析】()fx顶点坐标为(2,44)aa,()gx顶点坐标(2,412)aa,并且每个函数顶点都在另一个函数的图象上,图象如图,A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标,所以A-B=(44)(412)16aa【点评】(1)本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。(2)并非A,B在同一个自变量取得。12.【答案】D【解析】由已知,2[()]xexfxx(1)。在已知2()2()xexfxxfxx中令2x,并将2(2)8ef代入,得(2)0f;因为2()2()xexfxxfxx,两边乘以x后令32()()2[()](2)xgxxfxexfx。求导并将(1)式代入,2()2xxxexgxeexx,显然(0,2)x时,()0gx,()gx减;(2,)x时,()0gx,()gx增;并且由(2)式知(2)0g,所以(2)0g为()gx的最小值,即()0gx,所以3()0xfx,在0x时得()0fx,所以()fx为增函数,故没有极大值也没有极小值。13.【答案】1616【解析】直观图是圆柱中抽出正四棱柱。V222424161614.【答案】63【解析】13135,4aaaa由递增,131,4aa,所以2314aqa,2q代入等比求和公式得663S15.【答案】57【解析】由余弦定理,22246||10210||5BFBF,解得||8BF,所以A到右焦点的距离也是8,,由椭圆定义:26814a,又210c,所以105147e16.【答案】10【解析】设五个班级的数据分别为abcde。由平均数方差的公式得75abcde,BCAB1C1A1OM22222(7)(7)(7)(7)(7)45abcde,显然各个括号为整数。设7,7,7,7,7abcde分别为,,,,pqrst,(,,,,)pqrstZ,则222220(1)20(2)pqrstpqrst。设2222()()()()()fxxpxqxrxs=2222242()()xpqrsxpqrs=224220xtxt,因为数据互不相同,分析()fx的构成,得()0fx恒成立,因此判别式0,得4t,所以3t,即10e。作者:大连红旗高级中学王金泽由于赶稿件可能有疏漏请提宝贵意见QQ:1273177566
本文标题:2013年高考理科数学试题及答案-全国卷2
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