2013年高考理科数学试题及答案-全国卷2

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）数学（供理科考生使用）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数的11Zi模为（A）12（B）22（C）2（D）2（2）已知集合4|0log1,|2AxxBxxAB，则A．01，B．02，C．1,2D．12，（3）已知点1,3,4,1,ABAB则与向量同方向的单位向量为（A）3455，-（B）4355，-（C）3455，（D）4355，（4）下面是关于公差0d的等差数列na的四个命题：1:npa数列是递增数列；2:npna数列是递增数列；3:napn数列是递增数列；4:3npand数列是递增数列；其中的真命题为（A）12,pp（B）34,pp（C）23,pp（D）14,pp（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A）45（B）50（C）55（D）60（6）在ABC，内角,,ABC所对的边长分别为,,.abc1sincossincos,2aBCcBAb,abB且则A．6B．3C．23D．56（7）使得13nxnNnxx的展开式中含有常数项的最小的为A．4B．5C．6D．7（8）执行如图所示的程序框图，若输入10,nS则输出的A．511B．1011C．3655D．7255（9）已知点30,0,0,,,.ABC,OAbBaa若为直角三角形则必有A．3baB．31baaC．3310babaaD．3310babaa（10）已知三棱柱1116.34ABCABCOABAC的个顶点都在球的球面上若，，,ABAC112AAO，则球的半径为A．3172B．210C．132D．310（11）已知函数222222,228.fxxaxagxxaxa设12max,,min,,max,HxfxgxHxfxgxpq表示,pq中的较大值，min,pq表示,pq中的较小值，记1Hx得最小值为,A2Hx得最小值为B,则AB（A）2216aa（B）2216aa（C）16（D）16（11）设函数222,2,0,8xeefxxfxxfxfxfxx满足则时，（A）有极大值，无极小值（B）有极小值，无极大值（C）既有极大值又有极小值（D）既无极大值也无极小值第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.（14）已知等比数列13nnnaSanaa是递增数列,是的前项和.若，是方程26540xxS的两个根，则.（15）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为,FC与过原点的直线相交于,AB两点，4,.10,6,cosABF,5AFBFABAFCe连接若则的离心率=.（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）设向量3sin,sin,cos,sinx,0,.2axxbxx（I）若.abx求的值；（II）设函数,.fxabfx求的最大值18．（本小题满分12分）如图，.ABPAC是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I）求证：PACPBC平面平面；（II）2.ABACPACPBA若，1，1，求证：二面角的余弦值19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望.20．（本小题满分12分）如图，抛物线2212002:4,:20.,CxyCxpypMxyC点在抛物线上，1MC过作0,,.12ABMOABOx的切线，切点为为原点时，重合于当时，1-.2MA切线的斜率为（I）P求的值；（II）2MCABN当在上运动时，求线段中点的轨迹方程,,.ABOO重合于时中点为21．（本小题满分12分）已知函数321,12cos.0,12exxfxxgxaxxxx当时，（I）求证：11-;1xfxx（II）若fxgx恒成立，a求实数的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，.ABOCDOEADCDD为直径，直线与相切于垂直于于，BC垂直于,.CDCEFFAEBE于，垂直于，连接证明：（I）;FEBCEB（II）2.EFADBC23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C，直线2C的极坐标方程分别为4sin,cos22.4.（I）12CC求与交点的极坐标；（II）112.PCQCCPQ设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为33,,.12xtatRabbyt为参数求的值24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数,1.fxxaa其中（I）=244;afxx当时，求不等式的解集（II）222|12,xfxafxxx已知关于的不等式的解集为.a求的值2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）解析一选择题：1.【答案】B【解析】由已知111,(1)(1)22iZiii所以2||2Z2.【答案】D【解析】由集合A，14x；所以(1,2]AB3.【答案】A【解析】(3,4)AB，所以||5AB，这样同方向的单位向量是134(,)555AB4.【答案】D【解析】设1(1)naanddnm，所以1P正确；如果312nan则满足已知，但2312nnann并非递增所以2P错；如果若1nan，则满足已知，但11nann，是递减数列，所以3P错；34nanddnm，所以是递增数列，4P正确5.【答案】B【解析】第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为m，则150.3m，50m。6.【答案】A【解析】边换角后约去sinB，得1sin()2AC，所以1sin2B，但B非最大角，所以6B。7.【答案】B【解析】通项521(3)()3nrrnrrrnrnnCxCxxx，常数项满足条件52nr，所以2r时5n最小8.【答案】A【解析】211ssi的意义在于是对211i求和。因为21111()2111iii，同时注意2ii，所以所求和为1111111[()()()]21335911=5119.【答案】C【解析】显然角O不能为直角（否则得0a不能组成三角形）若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以30ba；若B为直角，则利用1OBABKK得310baa，所以选C10.【答案】C计算AM=52，【解析】由球心作面ABC的垂线，则垂足为斜边BC中点M。由垂径定理，OM=1162AA，所以半径R=22513()62211.【答案】B【解析】()fx顶点坐标为(2,44)aa，()gx顶点坐标(2,412)aa，并且每个函数顶点都在另一个函数的图象上，图象如图，A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=(44)(412)16aa【点评】（1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。（2）并非A，B在同一个自变量取得。12.【答案】D【解析】由已知，2[()]xexfxx(1)。在已知2()2()xexfxxfxx中令2x，并将2(2)8ef代入，得(2)0f；因为2()2()xexfxxfxx，两边乘以x后令32()()2[()](2)xgxxfxexfx。求导并将（1）式代入，2()2xxxexgxeexx，显然(0,2)x时，()0gx，()gx减；(2,)x时，()0gx，()gx增；并且由（2）式知(2)0g，所以(2)0g为()gx的最小值，即()0gx，所以3()0xfx，在0x时得()0fx，所以()fx为增函数，故没有极大值也没有极小值。13.【答案】1616【解析】直观图是圆柱中抽出正四棱柱。V222424161614.【答案】63【解析】13135,4aaaa由递增，131,4aa，所以2314aqa，2q代入等比求和公式得663S15.【答案】57【解析】由余弦定理，22246||10210||5BFBF，解得||8BF，所以A到右焦点的距离也是8，，由椭圆定义：26814a，又210c，所以105147e16.【答案】10【解析】设五个班级的数据分别为abcde。由平均数方差的公式得75abcde，BCAB1C1A1OM22222(7)(7)(7)(7)(7)45abcde，显然各个括号为整数。设7,7,7,7,7abcde分别为,,,,pqrst，(,,,,)pqrstZ，则222220(1)20(2)pqrstpqrst。设2222()()()()()fxxpxqxrxs=2222242()()xpqrsxpqrs=224220xtxt，因为数据互不相同，分析()fx的构成，得()0fx恒成立，因此判别式0，得4t，所以3t，即10e。作者：大连红旗高级中学王金泽由于赶稿件可能有疏漏请提宝贵意见QQ：1273177566