双曲线标准方程1

一、复习与问题1，椭圆的第一定义是什么？平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。F1F2MM定义图象标准方程焦点a,b,c的关系|MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）xyoF1F2···MyoxF1F2·M·12222byax12222bxaya2=b2+c2(－c,0),(c,0)(0,－c),(0,c)（ab0）（ab0）平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。平面内与两定点F1，F2的距离的为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？F1F2思考差一、复习与问题定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线的焦距.思考：平面内与两定点F1，F2的距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？A1A2OF1F2M此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数(小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫双曲线。则|MF1|=|MF2|F1F2M2.定义中这个常数2a能否为0？(|F1F2|记为2c；常数记为2a)∵若常数2a=|MF1|－|MF2|=0（1）2a2c；（2）2a0；注意试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？（F1、F2是两定点,|F1F2|=2c(a,c为正常数)当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹；当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹；当a=c时，动点M的轨迹；当ac时，动点M的轨迹.因此，在应用定义时，首先要考查.双曲线的右支双曲线的左支以F1、F2为端点的两条射线不存在2a与2c的大小线段F1F2的垂直平分线F1F2MF1F2M|MF1|－|MF2|=2a,当a=0时，动点M的是轨迹_______________________.xyo如图建立坐标系，使x轴经过F1、F2，并且原点O与线段F1F2的中点重合。设M(x,y)为双曲线上任一点,双曲线焦距为2c(c0),则F1(－c,0),F2(c,0)F1F2M二、双曲线的标准方程：P={M||MF1|-|MF2|=+2a}_cx-a2=±a(x-c)2+y2移项平方整理得再次平方，得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)由双曲线的定义知，2c2a,即ca,故c2-a20,令c2-a2=b2,其中b0,代入整理得：2ayc)(xyc)(x2222=x2a2-y2b21(a0,b0)xyoF1F2二、双曲线的标准方程：=x2a2-y2b21(a0,b0)方程叫做双曲线的标准方程它表示的双曲线焦点在x轴上，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2MyxxyoF1F2MyxyxyxF2F1MyxoyxyxF2F1Myoxy-x=x2a2-y2b21(a0,b0)(-x)2x2y2方程叫做双曲线的标准方程它表示的双曲线焦点在y轴上，焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且c2=a2+b2（1）双曲线的标准方程用减号“-”连接；（2）双曲线方程中a0,b0,但a不一定大于b说明：（3）如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上；（4）双曲线标准方程中，a，b，c的关系是c2=a2+b2；（5）双曲线的标准方程可统一写成Ax2-By2=1（AB0)F(±c,0)12222byax12222bxayyxoF2F1MxyF2F1MF(0,±c)位置焦点在X轴上焦点在Y轴上图形方程共性1、两种方程中，总有a0b02、a、b、c满足关系式a2+b2=c23、二次项系数为正,焦点在相应的轴上F2F1MxOyOMF2F1xy12222byax12222bxay定义方程焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab15151925)1(2222yxyx和143134)2(2222xyyx和3,5),0,4(ba焦点1,15),0,4(ba焦点3,2),0,1(ba焦点2,3),7,0(ba焦点练习1：写出以下曲线的焦点坐标及a,b：191622yx练习2.直接写出适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a=4，b=3，焦点在x轴上；(2)a=2，经过点A(2，-5)，焦点在y轴上.52212016yx一、巩固练习1.焦点在x轴上的双曲线的标准方程是___________,焦点为_______.焦点在y轴上的双曲线的标准方程是,焦点为_______,其中_________.12222bxay12222byaxc2=a2+b24.过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为.14322yx3382.双曲线的焦点坐标是.1422ykx),(k403.方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是__________.AB0(c,0)(0,c)例1已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，若双曲线上有一点Ｐ，且|ＰF1|=10,则|ＰF2|=_________。若|ＰF1|=7，则|ＰF2|=_________。4或1613变式训练1:已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足1210PFPF,求动点P的轨迹方程.解：∴1210PFPF轨迹方程为0(55)yxx或≥≤.∵1210FF,点P的轨迹是两条射线,变式训练2:已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足126PFPF,求动点P的轨迹方程.解：∴126PFPF∵焦点为12(5,0),(5,0)FF∴可设双曲线方程为:22221xyab(a0,b0).∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.所以点P的轨迹方程为221916xy(3)≥x.∵1210FF6,由双曲线的定义可知，点P的轨迹是双曲线的一支(右支),例2:证明椭圆与双曲线19y25x22x2-15y2=15的焦点相同.上题的椭圆与双曲线的一个交点为P，焦点为F1,F2,求|PF1|.变式:|PF1|+|PF2|=10,.152|PF||PF|21分析:例3:如果方程表示双曲线，求m的取值范围.22121xymm1m或2m10220mmm变式二:表示焦点在y轴的双曲线时，求m的范围。22121xymm2m1变式一:双曲线时，求m的范围。22121xymm例4:化简2222(3)(3)4xyxy使结果不含根式.22145yx0y答案：例4.已知A、B两地相距800m，在A处听到炮弹爆炸声的时间比在B处晚2s,且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程思考：如果A，B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？例5.已知F1、F2为双曲线的焦点，弦MN过F1且M,N在同一支上，若|MN|=7,求△MF2N的周长.191622yx•F2•F1MNxyo例6.已知双曲线16x2-9y2=144①求焦点的坐标；②设P为双曲线上一点，且|PF1||PF2|=32，求；③设P为双曲线上一点，且F1PF2=120，求.21PFFS21PFFS小结：1.双曲线的定义、焦点、焦距概念；2.双曲线标准方程的推导过程：3.双曲线标准方程的两种形式及其与焦点位置的关系：4.与双曲线的定义和标准方程有关的三个参数a、b、c间的关系。a、b、c都为正数且c最大；结构类似勾股定理，为c2=a2+b2。的轨迹方程。求顶点,的对边）、、分别为、、(，21若)0,4(，)0,4(中，.练习：CCBAcbacbaBAABC