1991考研数二真题及解析

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设ln(13)xy,则dy＿＿＿＿＿＿.(2)曲线2xye的上凸区间是＿＿＿＿＿＿.(3)21lnxdxx＿＿＿＿＿＿.(4)质点以速度2sin()tt米每秒作直线运动,则从时刻12t秒到2t秒内质点所经过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.(5)1101limxxxexe＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)若曲线2yxaxb和321yxy在点(1,1)处相切,其中,ab是常数,则()(A)0,2ab(B)1,3ab(C)3,1ab(D)1,1ab(2)设函数2,01,()2,12,xxfxxx记0()(),02xFxftdtx,则()(A)32,013()12,1233xxFxxxx(B)32,013()72,1262xxFxxxx(C)322,013()2,1232xxFxxxxx(D)32,013()2,122xxFxxxx(3)设函数()fx在(,)内有定义,00x是函数()fx的极大点,则()(A)0x必是()fx的驻点(B)0x必是()fx的极小点(C)0x必是()fx的极小点(D)对一切x都有0()()fxfx(4)曲线2211xxeye()(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(5)如图,x轴上有一线密度为常数,长度为l的细杆,有一质量为m的质点到杆右端的距离为a,已知引力系数为k,则质点和细杆之间引力的大小为()(A)02()lkmdxax(B)20()lkmdxax(C)0222()lkmdxax(D)2202()lkmdxax三、(每小题5分,满分25分.)(1)设cossinxttytt,求22dydx.(2)计算41(1)dxxx.(3)求20sinlim(1)xxxxxe.(4)求2sinxxdx.(5)求微分方程xxyyxe满足(1)1y的特解.四、(本题满分9分)利用导数证明：当1x时,有不等式ln(1)ln1xxxx成立.五、(本题满分9分)求微分方程cosyyxx的通解.六、(本题满分9分)Olamx曲线(1)(2)yxx和x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)如图,A和D分别是曲线xye和2xye上的点,AB和DC均垂直x轴,且:2:1ABDC,1AB,求点B和C的横坐标,使梯形ABCD的面积最大.八、(本题满分9分)设函数()fx在(,)内满足()()sinfxfxx,且(),[0,)fxxx,计算3()fxdx.xyBOC1xye2xyeDA1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)【答案】ln331xdx【解析】由复合函数求导法则,即(())yfx的微分为(())()dyfxfxdx,有1ln33ln3(1)1331xxxdydxdx.(2)【答案】11(,)22【解析】求函数()yfx的凹凸区间,只需求出y,若0y,则函数图形为上凹,若0y,则函数图形为上凸,由题可知22(2)2,xxyexxe222212(2)(2)4()2xxxyexexex.因为240xe,所以当2102x时0y,函数图像上凸,即2122,222xx时,函数图像上凸.故曲线上凸区间为11(,)22.(3)【答案】1【解析】用极限法求广义积分.22111lnln1limlimln()bbbbxxdxdxxdxxx11ln11lim()bbbxdxxxx分部1lnln11ln1limlim()111bbbbbbxbb.(4)【答案】12【解析】这是定积分的应用.设在ttdt时刻的速度为2sin()tt,则在dt时间内的路程为2sin()dsttdt,所以从时刻12t秒到2t秒内质点所经过的路程为212sin()ttsttdt222/2/21sin()sin()2ttdttdt2/21111cos()(coscos)(10)22222t.(5)【答案】1【解析】这是一个型未定式,分子分母同乘以1xe,得11110011limlim1xxxxxxeexexe.为简化计算,令1tx,则1xt,原式可化为1101101limlim10111txttxxeeexet.二、选择题(每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等,对两函数分别对x求导,得2yxa,则该曲线在点(1,1)处的导数为12xya,3223yyxyy,即3223yyxy,则曲线在点(1,1)处的导数为321(1)1231(1)xy,两导数相等,有21a,即1a.又因为曲线2yxaxb过点(1,1),所以有1111,1abbbb.所以选项(D)正确.(2)【答案】(B)【解析】这是分段函数求定积分.当01x时,2()fxx,所以23300011()()33xxxFxftdttdttx.当12x时,()2fxx,所以12001()()(2)xxFxftdttdttdt132201111112(2)(2)32322xtttxx271262xx.所以32,013()72,1262xxFxxxx,应选(B).(3)【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可导点也可取极值,如()1fxx,在01x处取极大值,但是01x不是()1fxx的驻点,所以(A)不正确；注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于()|1|fxx,在01x处取极大值,但01x并非是()|1|fxx的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的,因为00x,不妨设00x,则0()fx为极大值,则在0x的某个领域内有00()()fxfxx；函数()yfx与函数()yfx关于原点对称,所以必有00()()fxfxx,即在0x的某个领域内0()fx为极小值,故(B)是正确的.(4)【答案】(D)【解析】函数的定义域为0x,所以函数的间断点为0x,222200011limlimlim11xxxxxxxeeyee,所以0x为铅直渐近线,222211limlimlim111xxxxxxxeeyee,所以1y为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()yfx在其间断点0xx处有0lim()xxfx,则0xx是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim(),(xfxaa为常数）,则ya为函数的水平渐近线.(5)【答案】(A)【解析】如图建立坐标系,则xxdx中,dx长度的细杆的质量为dx,与质点的距离为ax,故两点间的引力为2()kmdxdFax,积分得02()lkmFdxax,故选(A).同理应用微元法可知,若以l的中点为原点,则质点的坐标为(,0)2la,故222()2llkmFdxlax；若以l的左端点为原点,则质点的坐标为(,0)al,故20()lkmFdxalx.故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】这是个函数的参数方程,/sincos/cossindydydttttdxdxdtttt,221sincos1()()cossincossindyddydtttdxdxdtdxdtttttttdt2(2cossin)(cossin)(2sincos)(sincos)1(cossin)cossintttttttttttttttttt2222232(cossin)(sincos)3sincos3sincos(cossin)tttttttttttttt232(cossin)tttt.【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果()()xtyt,则()()dytdxt.(2)【解析】用换元法求定积分.令tx,则2,2xtdxtdt,则422211111122()(1)1(1)dxtdtdtttttxx212142ln2(lnln)2ln1323tt.(3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则.当0x时,有sin,1xxxex,所以22232220000022sinsinsin1cos122limlimlimlimlim(1)3336xxxxxxxxxxxxxxexxxx洛.(4)【解析】用分部积分法求不定积分.21cos21sin(cos2)22xxxdxxdxxxxdx21111cos2(sin2)2244xdxxxdxxxdx2111sin2sin2444xxxxdx2111sin2cos2448xxxxC.(5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为1xyyex.通解为111()()dxdxxxxxyeeedxCxedxCx111()()()xxxxxxdeCxeedxCxeeCxxx.代入初始条件(1)1y得1C,所以特解为11xxyexx.【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()ypxyqx的通解为()()(())pxdxpxdxyeqxedxC,其中C为常数.四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当1x时,原不等式即(1)ln(1)lnxxxx,即(1)ln(1)ln0xxxx.证法一：令()(1)ln(1)lnfxxxxx,则只需证明在1x时()0fx即可,可利用函数的单调性证明,对于()fx有1()ln(1)1ln1ln()xfxxxx.因1x,故11xx,即()0fx,所以在(1,)上()fx是严格递增函数,所以()(1)2ln20fxf,故(1)ln(1)ln0xxxx,所以当1x时,有不等式ln(1)ln1xxxx成立.证法二：当1x时,原不等式即(1)ln(1)lnxxxx,不等式左右两端形式一致,故令()lnfxxx,则()ln10(1)fxxx,所以()lnfxxx在1x时严格单调递增,故(1)()fxfx，即(1)ln(1)lnxxxx.所以当1x时,有不等式ln(1)ln1xxxx成立.