近年中考数学压轴题100题精选答案

  2010年中考数学压轴题100题精选（1‐10题）答案 【001】解：（1）Q抛物线2(1)33(0)yaxa=−+≠经过点(20)A−，， 309333aa∴=+∴=−∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分 ∴二次函数的解析式为：232383333yxx=−++∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 （2）DQ为抛物线的顶点(133)D∴，过D作DNOB⊥于N，则33DN=， 2233(33)660ANADDAO=∴=+=∴∠=，°∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 OMADQ∥ ①当ADOP=时，四边形DAOP是平行四边形 66(s)OPt∴=∴=∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分 ②当DPOM⊥时，四边形DAOP是直角梯形 过O作OHAD⊥于H，2AO=，则1AH= （如果没求出60DAO∠=°可由RtRtOHADNA△∽△求1AH=） 55(s)OPDHt∴===∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 ③当PDOA=时，四边形DAOP是等腰梯形 26244(s)OPADAHt∴=−=−=∴= 综上所述：当6t=、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．∙∙7分 （3）由（2）及已知，60COBOCOBOCB∠==°，，△是等边三角形 则6262(03)OBOCADOPtBQtOQtt=====∴=−，，， 过P作PEOQ⊥于E，则32PEt=∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 113633(62)222BCPQStt∴=××−×−×=233633228t⎛⎞−+⎜⎟⎝⎠∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 当32t=时，BCPQS的面积最小值为6338∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分 ∴此时3339333324444OQOPOEQEPE==∴=−==，=， xy M C D P Q O ABN E H   222233933442PQPEQE⎛⎞⎛⎞∴=+=+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分 【002】解：（1）1，85；  （2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴3APt=−． 由△AQF∽△ABC，22534BC=−=，  得45QFt=．∴45QFt=． ∴14(3)25Stt=−⋅， 即22655Stt=−+． （3）能．    ①当DE∥QB时，如图4．    ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．     此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABC，得AQAPACAB=， 即335tt−=． 解得98t=．  ②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得 AQAPABAC=， 即353tt−=． 解得158t=．  （4）52t=或4514t=． 【注：①点P由C向A运动，DE经过点C． 方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6． PCt=，222QCQGCG=+2234[(5)][4(5)]55tt=−+−−． 由22PCQC=，得22234[(5)][4(5)]55ttt=−+−−，解得52t=．   方法二、由CQCPAQ==，得QACQCA∠=∠，进而可得 BBCQ∠=∠，得CQBQ=，∴52AQBQ==．∴52t=．  ②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7． 22234(6)[(5)][4(5)]55ttt−=−+−−，4514t=】 【003】解.(1)点A的坐标为（4，8）                 …………………1分 将A  (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx ACBPQED图4AC B P QD图3 E FAC B P Q E D 图5 AC(E) B PQ D图6 G AC(E) B PQ D 图7 G                8=16a+4b         得                                     0=64a+8b         解 得a=‐12,b=4 ∴抛物线的解析式为：y=－12x2+4x          …………………3分 （2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48 ∴PE=12AP=12t．PB=8‐t． ∴点Ｅ的坐标为（4+12t，8‐t）. ∴点G的纵坐标为：－12（4+12t）2+4(4+12t）=－18t2+8. …………………5分 ∴EG=－18t2+8‐(8‐t) =－18t2+t. ∵‐18＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.             …………………7分 ②共有三个时刻.                                   …………………8分 t1=163，  t2=4013，t3= 8525+．                   …………………11分 【004】（1）解：由28033x+=，得4xA=−∴．点坐标为()40−，． 由2160x−+=，得8xB=∴．点坐标为()80，．∴()8412AB=−−=．（2分）由2833216yxyx⎧=+⎪⎨⎪=−+⎩，．解得56xy=⎧⎨=⎩，．∴C点的坐标为()56，．（3分）∴111263622ABCCSABy==××=△·．（4分）（2）解：∵点D在1l上且2888833DBDxxy==∴=×+=，．∴D点坐标为()88，．（5分）又∵点E在2l上且821684EDEEyyxx==∴−+=∴=，．．∴E点坐标为()48，．（6分）∴8448OEEF=−==，．（7分）  （3）解法一：①当03t≤时，如图1，矩形DEFG与ABC△重叠部分为五边形CHFGR（0t=时，为四边形CHFG）．过C作CMAB⊥于M，则RtRtRGBCMB△∽△．∴BGRGBMCM=，即36tRG=，∴2RGt=．RtRtAFHAMCQ△∽△，∴()()11236288223ABCBRGAFHSSSStttt=−−=−××−−×−△△△．即241644333Stt=−++．（10分）【005】（1）如图1，过点E作EGBC⊥于点G．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分 ∵E为AB的中点， ∴122BEAB==． 在RtEBG△中，60B=°∠，∴30BEG=°∠．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 ∴22112132BGBEEG===−=，． 即点E到BC的距离为3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 （2）①当点N在线段AD上运动时，PMN△的形状不发生改变． ∵PMEFEGEF⊥⊥，，∴PMEG∥． ∵EFBC∥，∴EPGM=，3PMEG==． 同理4MNAB==．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 如图2，过点P作PHMN⊥于H，∵MNAB∥， ∴6030NMCBPMH==°=°∠∠，∠． ∴1322PHPM==． ∴3cos302MHPM=°=． 则35422NHMNMH=−=−=． 在RtPNH△中，222253722PNNHPH⎛⎞⎛⎞=+=+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠． ∴PMN△的周长=374PMPNMN++=++．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 ADB EORFx y1l2l M （图3） GC A D B EO C F x y1l2lG （图1） R M ADBEOCFxy1l2lG（图2）RM图1 AD EBF C G图2 AD EBF CPN MG H   ②当点N在线段DC上运动时，PMN△的形状发生改变，但MNC△恒为等边三角形． 当PMPN=时，如图3，作PRMN⊥于R，则MRNR=． 类似①，32MR=． ∴23MNMR==．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分 ∵MNC△是等边三角形，∴3MCMN==． 此时，6132xEPGMBCBGMC===−−=−−=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分     当MPMN=时，如图4，这时3MCMNMP===． 此时，61353xEPGM===−−=−． 当NPNM=时，如图5，30NPMPMN==°∠∠． 则120PMN=°∠，又60MNC=°∠， ∴180PNMMNC+=°∠∠． 因此点P与F重合，PMC△为直角三角形． ∴tan301MCPM=°=． 此时，6114xEPGM===−−=． 综上所述，当2x=或4或()53−时，PMN△为等腰三角形．  【006】解：（1）OC=1,所以,q=‐1,又由面积知0.5OC×AB=45,得AB=52，  设A（a,0）,B(b,0)AB=b−a=2()4abab+−=52，解得p=32±,但p0,所以p=32−。            所以解析式为：2312yxx=−− （2）令y=0，解方程得23102xx−−=，得121,22xx=−=,所以A(12−,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC=52,同样可求得BC=5，显然AC2+BC2=AB2，得△ABC是直角三角形。AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=52,所以5544m−≤≤。 （3）存在，AC⊥BC，①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=‐2x‐1,可设BD的解析式图3 A D E B F C P N M 图4ADEB FCPMN图5 AD EBF（P）CM NGGRG   为y=‐2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=‐2x+4，解方程组231224yxxyx⎧=−−⎪⎨⎪=−+⎩得D（52−，9） ②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x‐1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把 A(12−，0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组23120.50.25yxxyx⎧=−−⎪⎨⎪=+⎩得D(53,22)     综上，所以存在两点：（52−,9）或(53,22)。  【007】             【008】证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC， ∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余， ∴∠1=∠2…………………………………………………1分 ∵∠ABC=∠DAB