理论力学-动力学复习

研究物体的机械运动与作用力之间的关系动力学的主要内容1.动力学第一类问题——已知系统的运动，求作用在系统上的力。2.动力学第二类问题——已知作用在系统上的力，求系统的运动。动力学所涉及的研究内容包括：动力学普遍定理动量定理动量矩定理动能定理动力学普遍定理1、物理量（2）冲量（1）动量（3）动量矩vpmiiimvpvCmtt0dFI()LMvOOiimrviiimzOzJL1、物理量（4）转动惯量iiizmrJ22zzmJvirimiyxzOm回转半径①定义动力学普遍定理1、物理量②简单形体的转动惯量●均质细圆环●均质薄圆盘●均质细长杆CmrCmrCml2mrJC221mrJC2121mlJC动力学普遍定理1、物理量③平行移轴定理21mdJJCzzmdCzCz1221()23OClJJmmlCmlO动力学普遍定理1、物理量（5）力的功SFWcos●常力的功M2M1SvF●变力的功●重力的功●弹性力的功221112dcosdMMMMWFsFr1212()Wmgzz221212()2kW动力学普遍定理1、物理量（6）动能221mvT●质点●平移刚体212CTmv●定轴转动刚体212zTJ●平面运动刚体221122CCTmvJ（7）势能0dMMVFrM0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。212PTJ动力学普遍定理2．定理（2）质心运动定理eRddFpt（1）动量定理eRFaCmCmpv（）（3）动量定理、质心运动定理守恒0eR＝F若CvC＝则0eR＝F若Cp＝则动力学普遍定理2．定理（5）定轴转动微分方程（4）动量矩定理（6）平面运动微分方程eddOOtMLOzzLJ（）ezzMJiyCixCFymFxm)(eiiCCMJF动力学普遍定理2．定理（8）机械能守恒（7）动能定理2112TTW－＝EVT常数动力学普遍定理FdtvdmbFdtdvma.,.()A、a、b都正确；B、a、b都不正确。C、a正确，b不正确；D、a不正确，b正确。vnFM(2)重量为G的汽车，以匀速v驶过凹形路面。试问汽车过路面最低点时，对路面的压力如何?（）A、压力大小等于G；B、压力大小大于G。C、压力大小小于G；D、已知条件没给够，无法判断。【思考题】1．选择题（1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平面曲线运动，速度为v。试问下列各式是否正确？AB1.选择题D（1）设刚体的动量为，其质心的速度为，质量为M，则式。（）PcvcvMPA、只有在刚体作平动时才成立；B、只有在刚体作直线运动时才成立；C、只有在刚体作圆周运动时才成立；D、刚体作任意运动时均成立；C（2）质点作匀速圆周运动，其动量。（）A、无变化；B、动量大小有变化，但方向不变C、动量大小无变化，但方向有变化D、动量大小、方向都有变化【思考题】C（3）一均质杆长为，重为P，以角速度绕O轴转动。试确定在图示位置时杆的动量。（）lA、杆的动量大小，方向朝左2PlpgB、杆的动量大小，方向朝右3PlpgC、杆的动量大小，方向朝左6PlpgD、杆的动量等于零ABO3lmLmvpC61])6(121[22LmmLJLOO291mL22218121mLJTO223mRJLOO2224321mRJTOmRpmvp221mRJLCC2224121mRmvT[例]基本量计算(动量，动量矩，动能)CrCCOLvmrL223mRJRmvLCO质量为m长为l的均质细长杆，杆端B端置于水平面，A端铰接于质量为m，半径为r的轮O边缘点A,已知轮沿水平面以大小为的角速度作纯滚动，系统的动量大小为（），对点P的动量矩大小为（），系统动能为（）。图示行星齿轮机构，已知系杆OA长为2r，质量为m，行星齿轮可视为均质轮，质量为m，半径为r，系杆绕轴O转动的角速度为。则该系统动量主矢的大小为（），对轴O的动量矩大小为（），系统动能为（）。mr32313mr22311mr03mr0227mr202411mrAO【解】因为按图示机构，系统可分成3个刚块：OA、AB、和轮B。首先需找出每个刚块的质心速度：（1）OA作定轴转动，其质心速度在图示瞬时只有水平分量，方向水平向左。1121lvcxABO如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m，OA杆的长度为l1，AB杆的长度为l2，轮的半径为R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA的角速度为，则整个系统的动量为多少？例（2）AB作瞬时平动，在图示瞬时其质心速度也只有水平分量，方向水平向左。12lvvAcx（3）轮B作平面运动，其质心B的运动轨迹为水平直线，所以B点的速度方向恒为水平，在图示瞬时，方向水平向左。1lvvAB所以0yp)(251321mlmvmvmvpxxxx所以125mlppx方向水平向左ABO2122()222lkWmgll2221111()223AOvTJmll223(22)34Aklvglm[例题]vACAkO450图示均质细直杆OA长为l，质量为m，质心C处连接一刚度系数为k的弹簧，若杆运动到水平位置时角速度为零，则初始铅垂位置（此时弹簧为原长）时，杆端A的速度vA为多少？20T2112TTW－＝动力学普遍定理OCCrxy(a)【解】（1）用动能定理求角速度。01T例11-5如图所示，质量为m，半径为r的均质圆盘，可绕通过O点且垂直于盘平面的水平轴转动。设盘从最高位置无初速度地开始绕O轴转动。求当圆盘中心C和轴O点的连线经过水平位置时圆盘的角速度、角加速度及O处的反力。2222220243)21(2121mrmrmrJTmgrW12，得＝－由1212WTTmgrmr＝－04322rg34（2）当OC在同一水平位置时，由动量矩定理有：mgrdtdJO代入JO，有23grgmCaOxFnCaOyFC(b)（3）求O处约束反力作圆盘的受力分析和运动分析，有由质心运动定理，得mgFFmaOxOxnC3434342grgrranC23CargmgFFmgmaOyOyC31法二：用动能定理求角速度及角加速度。01T2222220243)21(2121mrmrmrJT)cos1(12mgrW，得＝－由1212WTT(*))cos1(04322mgrmr＝－)cos1(34rg两边对（*）式求导sin232mgrmr＝2sin3gr＝【思考与讨论】1．选择题（1）如图所示，半径为R，质量为m的均质圆轮，在水平地面上只滚不滑，轮与地面之间的摩擦系数为f。试求轮心向前移动距离s的过程中摩擦力的功WF。（）A．WF=fmgsB．WFfmgsC．WF=FsD．WF=0MCWvNFFsD(2)如图所示，楔块A向右移动速度为v1,质量为m的物块B沿斜面下滑，它相对于楔块的速度为v2，求物块B的动能TB。（）222122vmvmTBA.]sin)cos[(2222221vvvmTBD.221)(2vvmTBC.222vmTBB.DAB1v2v（3）如图所示，质量可以忽略的弹簧原长为2L，刚度系数为k，两端固定并处于水平位置，在弹簧中点挂一重物，则重物下降x路程中弹性力所作的功。（）A.}])[(0{22212LxLkWB.}])[(0{221222LxLkWC.}])[(0{2221222LxLkWD.}])[(0{2221222LxLkWABCxLkLC}]2)(2[0{21)(212212222221LxLkkW}])[(0{421221222LxLk（4）如图所示，平板A以匀速v沿水平直线向右运动，质量为m，半径为r的均质圆轮B在平板上以匀角速度ω朝顺时针方向滚动而不滑动，则轮的动能为（）A.222232121mrmvTB.2222121)(21mrrvmTC.222212121mrmvTD.2222121)(21mrrmTBOrv例9-8如图所示，均质杆OA，长,重为，绕O轴在铅垂面内转动。杆与水平线成角时，其角速度和角加速度分别为和，求该瞬时轴O的约束反力。l2P【解】取杆OA为研究对象，受力如（b）图所示。2lanclac方向如图所示。则：CllAOCllAOyFOxFPncacaxyo建立坐标系oxy，杆OA质心加速度为：sincossincos2llaaacnccxcossincossin2llaaacnccy由质心运动定理计算约束反力PxcxFMaycyFMaoxFllgP)sincos(2PFllgPoy)cossin(2)sincos(2gPlFox)cossin(2gPlPFoy[例12-1]均质杆长l,质量m,与水平面铰接,杆从与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。2mlFIR,0nnImaFR（法1）选杆AB为研究对象，虚加惯性力系：解：根据动静法，有)1(0cos,0I0FmgFFAA)2(0sin00FmgFFAA,nInn)3(02cos0)(0Ml/,mgFMIAA32ImlJMAA注意定轴转动刚体的惯性力虚加于转轴上。;:由(2)得mgFnA0sin;cos23:0lg由(3)得。:0cos4mgFA代入(1)得002cos32cos123lmgglml003g0,,cos,2tl时法2：用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：解：选AB为研究对象，0cos2AlJmg由动量矩定理，得：由质心运动定理：0cosmgFmaAC00cos4,sinmgFmgFAnA所以0此时nAnCFmgma0sin003cos24Clga这里如图所示，均质杆AB质量为m，长为l，由图示位置（）无初速度地倒下，求该瞬时A端所受到地面的约束反力。CCAB04512-3.匀质轮重为G，半径为r，在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度，角加速度为ε，求轮对质心C的转动惯量，轮的动量、动能，对质心C和水平面上O点的动量矩，向质心C和水平面上O点简化的惯性力系主矢与主矩。解：思考题)(rgGvgGpC222121CCJvgGTgGrJLCC22,rgGagGFCICgGrJMCIC2222rgGJC222)2(21)(21rgGrgG2243gGrOgGrgGrrgGrJmvrLCCO23222,rgGagGFCIOgGrrgGrgGrFMJMICOCIO232)(22[例12-4]质量为m1和m2的两均质重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度（轴O处摩擦不计，绳与轮无相对滑动）。,111IamF由动静法：,0)(FMO列补充方程：2211,raragJrmrmrmrm2222112211取系统为研究对象，虚加惯性力和惯性力偶：解：方法1用达朗贝尔原理求解,222IamFJJMOOI0I22I11I2211OMrFrFgr