3讲克莱姆法则上课用2.1-2.xls.3(哈工大线性代数课件王宝玲版)

1《线性代数与空间解析几何》第三讲哈工大数学系代数与几何教研室王宝玲1.4克莱姆法则2009.10.11第一章n阶行列式21.4克莱姆（Cramer)法则(Cramer法则)如果n元线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的系数行列式不等于零，(1)定理5下面给出利用n阶行列式求解方程个数与未知量个数都是n而且系数行列式不为零的线性方程组的求解公式.3即1212,,,nnDDDxxxDDD1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa则方程组(1)只有唯一解,且其解为41111111121212212111jjnjjnjnnjnnjnnaabaaaabaaDaabaa其中5111122121122221122000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax如果n元齐次线性方程组的系数行列式不等于零,即推论11112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa则此方程组只有唯一零解,即120.nxxx61112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa111122121122221122000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax如果n元齐次线性方程组推论2有非零解,则系数行列式等于零,即7123123123120353xxxxxxxxx求解线性方程组例111112120351D线性方程组的系数行列式解所以方程组有唯一解.811110212351D21111012331D31111202353D3121231,1,1DDDxxxDDD所以方程组的唯一解为9定义计算换法倍法分拆消法应用性质降阶公式特殊行列式：上（下）三角，Vandermonde行列式解线性方程组(Cramer法则)行列式转置行列式乘法公式第一章的知识网络图10练习若行列式D的某一行元素的代数余子式全是零,则这个行列式D=.2.若4阶行列式D的某一行的所有元素及其余子式都相等,则D=.3.在一个n阶行列式D中,如果等于零的元素多于个,则D=.2nn0001.11不计算行列式值，利用性质证明证令2()213331xxfxxx2213(1)(2)(3)331xxxxxxx4.12332(3)2230332f由于()fx是的三次多项式,且x112(1)2230,332f222(2)2330333f13因此有2213(1)(2)(3)331xxxxxxx注的系数为1.x3141111111111111111aaDbb计算行列式5．152143001111001111aarraDrrbbb解1100111100111111aabb1214110001100110011rraabrrb223411000110011000arrababb16计算行列式123123123123nnnnxmxxxxxmxxxxxmxDxxxxm6.17212121ninininininimxxxmxxmxDmxxxm221211()1nnniinxxxmxmxxxm解1821100()00nniixxmmxm11()()nniimxm19计算行列式:7.1234123412341234xaaaaxaaaaxaaaaxD()iixa20解1234123412341234123410000aaaaxaaaDaxaaaaxaaaax用加边法21(2,3,4,5)123411122334411000100010001000iiaaaaxarrxaxaxa224411(1)()iiiiiiiaxaxa4123411122334410000000000000000iiiiaaaaaxaxaxaxaxa231301301411210110D31323334AAAA已知计算（1）31323334MMMM8.（2）2413013014111101101301301411110110解31323334AAAA31323334MMMM31323334AAAA3.25.25分析:a相当于第2行的元素乘上的第4行的代数余子式,根据行列式的性质,应该为0,答案为(C).设a=4A41+8A42+5A43+6A44,则a的值为:(A)-2;(B)-1;(C)0;(D)2.D37974856304914729.设有四阶行列式2610.设()fx是一个次数不大于n-1的一元多项式,如果存在n个互不相同的数12,,,nxxx()0,1,2,,,ifxin使()0fx证明:210121()nnfxaaxaxax证设()0,1,2,,ifxin由已知ia其中待定，27210112111210122212210121000nnnnnnnnnaaxaxaxaaxaxaxaaxaxax0121,,,,naaaa这是关于的n元一次线性方程组,其系数行列式得28D211112122221111nnnnnnxxxxxxxxx1()ijjinxx0所以方程组只有唯一零解,即01210naaaa()0fx故《线性代数与空间解析几何》哈工大数学系代数与几何教研室王宝玲2009.10.11第二章矩阵30本章的主要内容矩阵的概念及运算可逆矩阵*矩阵的初等变换与初等阵*矩阵的秩分块矩阵1矩阵的定义由mn个数排成的m行、n列的矩形数表111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA称为矩阵.mn2.1.1.矩阵的概念2.1矩阵的概念简记为()mnijmnaA当m=n时称为n阶方阵.矩阵同形它们行数和列数相同.矩阵相等它们同形且对应元素相等.2.特殊矩阵零矩阵:,mn00方阵的行列式:||||AijnnadetΑ或.对角矩阵:1122nnaaa单位矩阵:E,I或111nE数(标)量矩阵:kkkΑ34上三角矩阵:11121222nnnnaaaaaa下三角矩阵:11212212nnnnaaaaaa行矩阵:12naaa列矩阵:12naaa2.2矩阵运算矩阵的线性运算矩阵的乘法运算方阵的幂及行列式的乘法公式矩阵的转置36加法:()Αijmna()Βijmnb()()A+B=Cijmnijijmncab负矩阵:()()Αijmnijmnaa减法:()ABAB,()AAAA00(A与B要同形).2.2.1矩阵的加法:运算性质:,()()A+B=B+AA+BCAB+C()ijijmnab()()Aijmnijmnkkaka1,0AAA0运算性质:()()AAklkl()A+BABkkk()AAAklkl2.2.2数乘其中1122ijijijissjcababab(),Αijmsa(),Βijsnb()C=ABijmnc,则12iiisaaa12jjsjbbbijc1,1,,;1,,.sikkjkabimjn2.2.3矩阵乘法可乘原则:前列数=后行数.乘积元素:cij是A的第i行的元素与B的第j列对应元素乘积之和.乘积阶数：AB阶数为前行数×后列数.总结如下:(1),pmpnnqmqAA0000(2)mnEA=A,AE=A(3)()()ABCABC(4)()()AB+CAB+ACB+CA=BA+CA运算性质:学习矩阵运算,尤其要注意其不具备什么熟知的运算规律.特别是乘法运算.(A是mn的矩阵)设2311121,00312AB求AB.解231112100312注意:在这个例子中BA无意义.2130121120(1)2013012412例11122,abbaAB则AB注意:在这个例子中,虽然AB与BA均有意义,但是AB是2×2矩阵,而BA是1×1矩阵.11122122,ababababBA1122()baba例2设1111,1111AB则0022,0022ABBA注意:(1)AB与BA是同阶方阵，但AB不等于BA.(2)虽然A,B都是非零矩阵,但是AB=0.例3设121371,,,242112ABC求AB及AC.解12132421AB12712412AC注意:虽然A不是零矩阵,而且AB=AC,但是B不等于C.这说明消去律不成立!55,101055.1010例4总结一下矩阵乘法的一些反常性质:未必满足交换律:ABBA未必满足消去律:AB=ACB=C可能有零因子:ABAB000或ABAB000且如果AB=BA,则称A与B可交换.学习矩阵理论,尤其要注意反常性质!46预习2.2----2.3矩阵理论引言历史★矩阵思想源于求解线性方程组★矩阵思想产生于中国(朱世杰等)★Matrix概念产生于英国(Sylvester)应用★数学(计算数学)各分支★信息处理•系统控制•工程技术等