初中几何常用辅助线专题

第1页共9页初中几何常见辅助线做法一、三角形常见辅助线做法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍；含有中点的题目，常常做三角形的中位线，把结论恰当的转移例1、如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。【分析】：要证AB＋AC＞2AD，由图想到：AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD∵AD为△ABC的中线（已知）∴BD＝CD（中线定义）在△ACD和△EBD中)()()(辅助线的作法对顶角相等已证EDADEDBADCCDBD∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE＝CA（全等三角形对应边相等）∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB＋AC＞2AD。例2、如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF证明：延长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。在△BDE和△CDM中，∵)()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MDEDCDMCDBD∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90°14图ABCDEFM1234ABCDE15图第2页共9页∴∠FDM＝∠EDF＝90°在△EDF和△MDF中∵)()()(公共边已证辅助线的作法DFDFFDMEDFMDED∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF＝MF（全等三角形对应边相等）∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）∴BE＋CF＞EF【备注】：上题也可加倍FD，证法同上。当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。例3、如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，∵ME是ΔBCD的中位线，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵MF是ΔABD的中位线，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，从而∠BGE=∠CHE。方法2：含有角平分线的题目，利用角平分线的性质做垂线，或构造出全等三角形例4、如图2-1，已知ABAD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。图2-1ABCDEF第3页共9页例5、已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=21（AB-AC）【分析】：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。例6、已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。【分析】：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。方法3：证明两条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法例7、如图2-2，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求证：BC=AB+AD【分析】：截长法：在BC上取BE=AB,连接DE,证明△ABD≌△EBD，则AD=DE=CE,结论可证补短法：延长BA到F，使BF=BC,连接DF,证明△BCD≌△BFD，∠F=∠C=45°，AF=AD,结论可证例8：已知如图6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。求证：AB－AC＞PB－PC。【分析】：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小ABCDNMP16图12图示3-1ABCDHE图3-2DABEFCDCBA第4页共9页于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。证明：（截长法）在AB上截取AN＝AC连接PN,在△APN和△APC中∵)()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPACAN∴△APN≌△APC（SAS）∴PC＝PN（全等三角形对应边相等）∵在△BPN中，有PB－PN＜BN（三角形两边之差小于第三边）∴BP－PC＜AB－AC证明：（补短法）延长AC至M，使AM＝AB，连接PM，在△ABP和△AMP中∵)()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPAMAB∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB＝PM（全等三角形对应边相等）又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边)∴AB－AC＞PB－PC。二、梯形常用辅助线做法通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：第5页共9页例1.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的长.解：过点D作DE∥BC交AB于点E.又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.所以DE＝BC＝17，CD＝BE.在Rt△DAE中，由勾股定理，得AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.所以AE＝8.所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.即CD＝8.作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。ABCDE平移对角线。转化为三角形、平行四边形。ABCDE延长两腰，转化为三角形。ABCDE作高，转化为直角三角形和矩形。ABCDEF中位线与腰中点连线。ABCDEFABCDABCDE第6页共9页例2、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°则△EGH是直角三角形因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点所以)(2121CHBGBCGHEF1)13(21)(21)]([21)(21ADBCDEAEBCDEAEBC例3、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．∵AD∥BC∴四边形ACED是平行四边形∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4∵在△DBE中，BD=3，DE=4，BE=5∴∠BDE=90°．作DH⊥BC于H，则512BEEDBDDH6251252DHBC)(ADABCD梯形S．例4、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。解：延长BA、CD交于点E。在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。所以∠E=50°，从而BC=EC=5，同理可得AD=ED=2所以CD=EC－ED=5－2=3ABDCEH第7页共9页例5、如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。证：过点D作DG⊥AB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。因为AB=2DC，所以AG=GB。从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。例6、如图，在梯形ABCD中，AD为上底，ABCD，求证：BDAC。证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。在Rt△ABE和Rt△DCF中，因为ABCD，AE=DF。所以由勾股定理得BECF。即BFCE。在Rt△BDF和Rt△CAE中由勾股定理得BDAC例7、如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=21（AB＋CD）①在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE所以ADOE21②由①、②得AB＋CD=AD。例8、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求证：∠AEB=2∠CBE。解：分别延长AE与BC，并交于F点∵∠BAD=900且AD∥BC∴∠FBA=1800－∠BAD=900又∵AD∥BC∴∠DAE=∠F∵∠AED=∠FEC，DE=EC第8页共9页EDCBA∴△ADE≌△FCE（AAS）∴AE=FE在△ABF中∠FBA=900且AE=FE∴BE=FE∴在△FEB中∠EBF=∠FEB∠AEB=∠EBF+∠FEB=2∠CBE练习1、如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.EDCBA3、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD4、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.BECDAABCDE第9页共9页5、如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？6、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系ABDCEFABCDE