新人教版高中数学必修一1.5全称量词与存在量词

1.5全称量词与存在量词学习目标1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义．并会判断全称命题和特称命题的真假．2．能够用符号表示全称命题、特称命题，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.“所有”“每个”“任何”“任意一个”“一切”都是在指定范围内，表示_____或_____的含义，这样的词叫作全称量词．像这样含有________的命题，叫作全称命题.全称量词与全称命题整体全部全称量词“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示_____或________的含义，这样的词叫作存在量词．像这样含有_______的命题，叫作特称命题.存在量词与特称命题个别一部分存在量词1.全称命题、存在性命题的不同表述同一个全称命题或存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结于下，在实际应用中可以灵活地选择.命题全称命题“∀x∈A，p(x)”存在性命题“∃x∈A，p(x)”表述方法①所有的x∈A，p(x)成立；②对一切x∈A，p(x)成立；③对每一个x∈A，p(x)成立；④任选一个x∈A，p(x)成立；⑤凡x∈A，都有p(x)成立.①存在x∈A，使p(x)成立；②至少有一个x∈A，使p(x)成立；③对有些x∈A，使p(x)成立；④对某个x∈A，使p(x)成立；⑤有一个x∈A，使p(x)成立.2.对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．3．否定命题时，要注意特殊的词，如“全”“都”等．常见关键词及其否定形式如下表.关键词否定词关键词否定词等于不等于大于不大于能不能小于不小于至少有一个一个都没有至多有一个至少有两个都是不都是是不是没有至少有一个属于不属于[方法规律]判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：1．首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．2．若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．3．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．4．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．1.下列命题：①有一个实数不能做除数；②棱柱是多面体；③所有方程都有实数解；④有些三角形是锐角三角形．其中是特称命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]①④是特称命题；②③是全称命题．练一练2.判断下列语句是否是全称命题或特称命题．(1)有一个实数a，a不能取对数；(2)若所有不等式的解集为A，则有A⊆R；(3)三角函数都是周期函数吗？(4)有的向量方向不定；(5)自然数的平方是正数．[答案](1)(4)为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是命题．[解析]因为(1)(4)含在存在量词，所以命题(1)(4)为特称命题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，(2)含有全称量词，故(2)(5)为全称命题．(3)不是命题.3.判断下列命题的真假：(1)p：所有的单位向量都相等；(2)p：任一等比数列{an}的公比q≠0；(3)p：存在x0∈R，x20＋2x0＋3≤0；(4)p：存在等差数列{an}，其前n项和Sn＝n2＋2n－1.[解析](1)p是全称命题，是假命题．若两个单位向量e1，e2方向不相同时，显然有|e1|＝|e2|＝1，但e1≠e2.(2)p是全称命题，是真命题．根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项an≠0，所以其公比q＝an＋1an≠0(n＝1,2,3，…)．(3)p是存在性命题，是假命题．因为对于所有的x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥20恒成立．(4)p是存在性命题，是假命题．对于任一等差数列{an}(首项a1，公差d)，其前n项和为：Sn＝na1＋12n(n－1)d＝d2n2＋(a1－d2)n.因此不可能是Sn＝n2＋2n－1这种形式(含常数式)．[方法规律总结]对于全称命题，若真，要证明其正确性，若假只需举一反例，对于存在性命题，若真，只要有一个元素满足即可；若假，全部否定才可以．4.指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．(1)至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；(2)存在x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(3)任意的x∈R，则x2＋2x＋10.[解析](1)由于整数1既不是合数，也不是素数，所以特称命题“至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数”是真命题．(2)由于π是无理数，π2仍是无理数，所以特称命题“存在x∈{x|x是无理数}，x2是无理数”是真命题．(3)x2＋2x＋1＝(x＋1)2，找不到一个x使x2＋2x＋10，所以全称命题“任意的x∈R，则x2＋2x＋10，是假命题”.全称命题的否定是_____命题；特称命题的否定是_____命题．要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明___________是正确的．要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明________________是正确的.全称命题与特称命题的否定特称全称这个全称命题的否定这个特称命题的否定例题1：写出下列命题的否定形式．(1)存在实数x，x2＋2x＋2≤0；(2)有的三角形是等边三角形；(3)所有能被3整除的整数是奇数；(4)每一个四边形的四个顶点共圆．[解析](1)任意实数x，x2＋2x＋20.(2)所有的三角形都不是等边三角形．(3)存在一个能被3整除的整数不是奇数．(4)存在一个四边形的四个顶点不共圆．[方法规律]一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．1.写出下列命题的否定．(1)p：对任意x1，log2x0；(2)p：对任意a，b∈R，a2＋b20；(3)p：有的正方形是矩形；(4)p：存在x0∈R，x20－x0＋20.练一练[解析](1)p的否定：存在x01，log2x0≤0.(2)p的否定：存在a、b∈R，a2＋b2≤0.(3)p的否定：任意一个正方形都不是矩形．(4)p的否定：对任意x∈R，x2－x＋2≤0.利用全称命题与特称命题求参数的取值范围例题2命题p：所有的x∈[－1,2]，4x－2x＋1＋2－a0.若命题p为真命题，求实数a的取值范围．[解析]依题意：所有的x∈[－1,2]，4x－2x＋1＋2－a0恒成立．令t＝2x，由x∈[－1,2]，得t∈[12，4]．则4x－2x＋1＋2－a0可化为at2－2t＋2，即a(t－1)2＋1.∴命题p等价于：所有的t∈[12，4]，a(t－1)2＋1恒成立．令y＝(t－1)2＋1，当t∈[12，4]时，ymax＝(4－1)2＋1＝10.所以只需a10，即可得证命题p为真命题．故所求实数a的取值范围是(10，＋∞)．[方法规律]应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．2．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1.若命题p：对任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．(－2，＋∞)D．(－2,2)[答案]B练一练[解析]ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1对任意x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋(a－1)≥0恒成立．当a＋2＝0时，不符合题意．故有a＋20Δ≤0，即a＋20，16－4a＋2a－1≤0，解得a≥2.2.已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.(1)若函数y＝f(x)的图像与x轴无交点，求a的取值范围；(2)若函数y＝f(x)在[－1,1]上存在零点，求a的取值范围；(3)设函数g(x)＝bx＋5－2b，b∈R.当a＝0时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使得f(x1)＝g(x2)，求b的取值范围．[解题思路探究]第一步，审题，审条件发掘解题信息，给出含参数的二次函数，其图像开口向上．审结论明确解题方向，求参数的取值范围．第二步，找联系，确定解题方案．第(1)问中f(x)的图像与x轴无交点，故方程f(x)＝0无实根，对应Δ0；第(2)问中f(x)在[－1,1]内存在零点，由于是二次函数，故可能存在一个零点，可用零点存在性定理求解；也可能存在两个零点，可利用二次函数图像借助函数值的符号转化为不等式组求解．本题关键是第(3)问的理解，“对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)＝g(x2)”表明f(x)的值域为g(x)值域的子集，故解答第三问需求先f(x)、g(x)的值域，再利用子集关系求参数取值范围．第三步，规范解答．[解析](1)∵f(x)的图像与x轴无交点，∴Δ＝16－4(a＋3)0，∴a1.(2)∵f(x)的对称轴为x＝2，∴f(x)在[－1,1]上单调递减，欲使f(x)在[－1,1]上存在零点，应有f1≤0，f－1≥0.即a≤0，8＋a≥0，∴－8≤a≤0.(3)若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)＝g(x2)，只需函数y＝f(x)的值域为函数y＝g(x)值域的子集即可．∵函数y＝f(x)在区间[1,4]上的值域是[－1,3]，当b0时，g(x)在[1,4]上的值域为[5－b,2b＋5]，只需5－b≤－1，2b＋5≥3，∴b≥6；当b＝0时，g(x)＝5不合题意，当b0时，g(x)在[1,4]上的值域为[2b＋5,5－b]，只需2b＋5≤－1，5－b≥3，∴b≤－3.综上知b的取值范围是b≥6或b≤－3.课堂小结存在量词1.全称量词全称命题特称命题2.全称命题与特称命题的否定3.利用全称命题与特称命题求参数的取值范围