必修一函数的单调性与最值(含答案)

2.2函数的单调性与最值一、函数单调性的判定〖例1〗(2011·江苏高考)(1)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______.(2)判断函数x2yx1在(-1，+∞)上的单调性.〖例2〗求函数的单调区间〖例3〗设，(1)试判断函数的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)若的反函数为，证明:对任意的自然数n(n≥3)，都有;二、应用函数的单调性〖例1〗(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)f(m2)的实数m的取值范围是______.(2)已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在［0,2］上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小.〖例2〗已知函数f(x)对于任意a，b∈R,总有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1．(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)＜3；(3)若关于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)＜2恒成立，求实数n的取值范围．三、抽象函数的单调性及最值〖例1〗已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)0，且f(5)=1，设F(x)=f(x)+)(1xf，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论〖例2〗已知函数f(x)对于任意x，y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在［-3，3］上的最大值和最小值．【高考零距离】1．（2012·广东高考文科·Ｔ4）下列函数为偶函数的是A.sinyx.3yx.xyeD.2ln1yx2.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ16）设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M，最小值为m，则M+m=____3.（2012·江苏高考数学科·Ｔ10）设()fx是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，1,10()2,011axxfxbxxx其中,abR，若13()()22ff，则3ab的值为4.（2012·安徽高考文科·Ｔ13）若函数()|2|fxxa的单调递增区间是),3[，则a=________.5.（2011·安徽高考理科·Ｔ3）设fx是定义在Ｒ上的奇函数，当0x时，22fxxx，则1f（Ａ）－３（Ｂ）－１（Ｃ）１（Ｄ）３6.（2011·福建卷理科·Ｔ9）对于函数f（x）=asinx+bx+c(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能．．．．．是（）A.4和6.3和1.2和4D.1和27.（2011·辽宁高考文科·Ｔ6）若函数)(xf=))(12(axxx为奇函数，则a=（A）21（）32（）43（D）18.（2011·湖南高考理科·T20）（13分）如图6，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c)R，E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v-c|S成正比，比例系数为101；（2）其他面的淋雨量之和，其值为21.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100，面积S=23时，（Ⅰ）写出y的表达式；（Ⅱ）设0v,50,10c试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少.【考点提升训练】一、选择题(每小题6分，共36分)1.关于函数y=3x的单调性的叙述正确的是()(A)在(-∞,0)上是递增的，在(0，+∞)上是递减的()在(-∞,0)∪(0,+∞)上递增(C)在［0,+∞)上递增(D)在(-∞,0)和(0，+∞)上都是递增的2.(2012·厦门模拟)函数f(x)=2x2-mx+2当x∈［-2,+∞)时是增函数，则m的取值范围是()(A)(-∞,+∞)()［8,+∞)()(-∞,-8］(D)(-∞,8］3.若函数f(x)=loga(x+1)(a0,a≠1)的定义域和值域都是［0,1］，则a等于()(A)13()2()22(D)24.（2012·龙岩模拟）函数12xxx4fx1()x42的单调减区间为（）(A)（-∞,+∞）()(0,4)和(4,+∞)()(-∞,4)和(4,+∞)(D)（0，+∞）5.(2012·杭州模拟)定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,2)上是增函数，且f(x+2)的图象关于x=0对称，则()(A)f(-1)f(3)()f(0)f(3)()f(-1)=f(3)(D)f(0)=f(3)6.（预测题）定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x0时，f(x)0,则函数f(x)在［a,b］上有()(A)最小值f(a)()最大值f(b)()最小值f(b)(D)最大值f(ab2)二、填空题(每小题6分，共18分)7.如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(12,1)上是增函数，那么f(2)的取值范围是__________.8.函数y=5x2x的最大值是_______.9.(2012·深圳模拟)f(x)=xax0a3x4a(x0）满足对任意x1≠x2,都有1212fxfx0xx成立，则a的取值范围是________.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·青岛模拟)已知函数f(x)=xx2,(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并加以证明;(2)求函数f(x)的值域.11.（2012·南平模拟）已知函数f(x)=ax2-2x+1.(1)试讨论函数f(x)的单调性；（2）若13≤a≤1,且f(x)在［1，3］上的最大值为M（a）,最小值为N（a）,令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的表达式.【探究创新】(16分)定义：已知函数f(x)在［m,n］(mn)上的最小值为t,若t≤m恒成立，则称函数f(x)在［m,n］(mn)上具有“DK”性质.(1)判断函数f(x)=x2-2x+2在［1,2］上是否具有“DK”性质，说明理由.(2)若f(x)=x2-ax+2在［a,a+1］上具有“DK”性质，求a的取值范围.答案解析1.【解析】选D.由于函数y=1x在(-∞,0)和(0，+∞)上是递减的，且-30,因此函数y=3x在(-∞,0)和(0，+∞)上都是递增的，这里特别注意两区间之间只能用“和”或“，”，一定不能用“∪”.2.【解析】选.由已知得m4≤-2,解得:m≤-8.3.【解析】选D.当0a1时，f(x)在［0,1］上为减函数，则其值域不可能为［0,1］;当a1时，f(x)在［0，1］上为增函数，由已知有aalog10log21,得a=2,综上知a=2.4.【解析】选.由函数解析式知f(x)在(-∞,4)和（4，+∞）都是减函数，又121f44,24111(),2162∴减区间有两个(-∞,4)和（4，+∞）.5.【解析】选A.因为f(x+2)的图象关于x=0对称，所以f(x)的图象关于x=2对称，又f(x)在区间(-∞,2)上是增函数，则其在(2，+∞)上为减函数，作出其图象大致形状如图所示.由图象知，f(-1)f(3)，故选A.【方法技巧】比较函数值大小常用的方法(1)利用函数的单调性，但需将待比较函数值调节到同一个单调区间上.(2)利用数形结合法比较.(3)对于选择、填空题可用排除法、特值法等比较.6.【解题指南】先探究f(x)在［a,b］上的单调性，再判断最值情况.【解析】选.设x1x2,由已知得f(x1)=f［(x1-x2)+x2］=f(x1-x2)+f(x2).又x1-x20,∴f(x1-x2)0.∴f(x1)f(x2).即f(x)在R上为减函数.∴f(x)在［a,b］上亦为减函数.∴f(x)min=f(b),f(x)max=f(a),故选.7.【解析】f(x)=x2-(a-1)x+5在(a12,+∞)上递增，由已知条件得a12≤12,则a≤2,f(2)=11-2a≥7.答案：［7,+∞)8.【解析】∵5x-2≥0,∴x≥25,∴y≥0.又y=221115255252()2()xxx484(当且仅当x=45时取等号).答案：5249.【解析】由已知x1≠x2,都有1212fxfxxx0，知f(x)在R上为减函数，则需00a1aa304a,a30＜解得0a≤14.答案：(0,14］10.【解析】(1)当x0时，f(x)=xx2221x2x2x2.设0x1x2,f(x1)-f(x2)=(1-12x2)-(1-22x2)=12122xxx2x2,由0x1x2可得f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)，因此f(x)在(0,+∞)上递增.(2)f-21-x≥0x+2x=.2-1+x0且x≠2x+2可以证明f(x)在(-∞,-2)上递减，且f(x)在(-2，0)上递减，由反比例函数2yx通过平移、对称变换得f(x)的图象如图所示，因此f(x)的值域为:(-∞,-1)∪［0,+∞).11.【解析】（1）当a=0时，函数f(x)=-2x+1在（-∞，+∞）上为减函数，当a0时，抛物线f(x)=ax2-2x+1开口向上，对称轴为x=1a,∴函数f(x)在（-∞，1a）上为减函数，在(1a,+∞)上为增函数，当a0时，抛物线f(x)=ax2-2x+1开口向下，对称轴为1xa,∴函数f(x)在(-∞,1a)上为增函数，在（1a,+∞）上为减函数.（2）∵f(x)=a(x-1a)2+1-1a,又13≤a≤1,得1≤1a≤3,∴N(a)=f(1a)=1-1a.当1≤1a2,即12a≤1时，M(a)=f(3)=9a-5,∴g(a)=9a+1a-6.当2≤1a≤3,即11a32时，M（a）=f(1)=a-1,∴g(a)=a+1a-2,∴111a2,a,a32ga.119a6,a(,1a2［］］【探究创新】【解析】(1)∵f(x)=x2-2x+2,x∈［1,2］,∴f(x)min=1≤1,∴函数f(x)在［1,2］上具有“DK”性质.(2)f(x)=x2-ax+2,x∈［a,a+1］，其对称轴为x=a2.①当a2≤a，即a≥0时，函数f(x)min=f(a)=a2-a2+2=2.若函数f(x)具有“DK”性质，则有2≤a总成立，即a≥2.②当aa2a+1，即-2a0时，f(x)min=f(a2)=-2a4+2.若函数f(x)具有“DK”性质，则有-2a4+2≤a总成立，解得a∈Ø.③当a2≥a+1,即a≤-2时，函数f(x)的最小值为f(a+1)=a+3.若函数f(x)具有“DK”性质，则有a+3≤a,解得a∈Ø.综上所述，若f(x)在［a,a+1］上具有“DK”性质，则a的取值范围为［2,+∞).