运用《几何画板》开发数学校本课程

2013年市现代教育技术参评论文运用《几何画板》开发数学校本课程【摘要】《几何画板》为数学课堂教学和学生学习数学提供了非常有效的工具。学生学习几何画板，能让学生更多的动手机会，有助于改变传统教学模式和学习模式，从而激发学生学习数学兴趣，消除学生的“数学焦虑”，培养学生的创新意识和自主探究能力。本人对数学校本课程《几何画板》的开发与实践提出一些设想，并做了初步的尝试。【关键词】数学实验，几何画板，校本课程一、背景分析新课程改革提出了课程的三级管理机制，课程的三级管理包括国家课程、地方课程和校本课程。校本课程的出现是课程开发权利的下放，这意味着数学教师成为了课程的开发者，这对学校和教师提出了更高的要求，在理论和实践上都存在着许多需要我们探索和研究的问题。著名数学教育家波利亚曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学。”大数学家欧拉说：“数学这门科学需要观察，也需要实验”。《数学课程标准》指出：“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。”在数学教学中，不仅要利用信息技术创设恰当的问题情境，而且要引导学生通过多媒体实验手段，从直观、想象到探索、发现、猜想，然后给出验证及理论证明，从而使学生亲历数学建构过程，逐步掌握认识事物、发现真理的方式、方法，引导学生创造性地解决问题。信息与数学实验教学的整合是二者在教学目标、教学内容、教学方法、教学手段上的深层次融合。因而，在现代教育技术支持下，改革传统的数学教学模式，实施数学实验教学，正成为数学教改实验的一个新动向，越来越受到教育界同仁的关注。二、课程纲要的设想（一）课程性质、基本理念在高中数学中，有相当部分的知识具有抽象性，传统的教学方法是采用“数形结合”的思想将抽象问题转化为形象问题。而“几何画板”集图像的制作、测算、文字的输入等为一体，为“数形结合”创造了一条便捷的通道，它不仅能为几何模型的绘制提供信息，同时可以通过图形变换的动感，让学生认清问题的本质。进一步了解数学的思想方法，及其形成与发展，激发学习数学的兴趣，促进学生自主学习，主动发展。教材与学生的学习进度紧密联系，通过形象生动的动画，让学生对所学的抽象的数学知识有更加深刻的理解，并让学生能利用几何画板做简单自主探究。（二）课程目标1．学生通过对该课程的学习，为顺利进行新课程改革获得必要的信息技术数学基础知识和基本技能。2．了解“几何画板”在解决数学问题时的作用和意义，并能够利用“几何画板”解决学习过程中所遇到的数学问题。3．通过本课程的学习，改变传统的学习方式，能够利用“几何画板”开展探究性数学学习。并在探究活动体会该课程所蕴涵的数学思想和方法，感受数学的价值，提高个体的数学素养。（三）课程内容第一篇画板入门第一章用工具框作图第二章用构造菜单作图第三章用变换菜单作图第四章动作按钮的制作第二篇几何画板与高中数学的整合第五章函数图像与几何画板（二次函数、三角函数、三次函数）第六章函数变换与几何画板（平移、伸缩、对称）第七章圆锥曲线与几何画板（定值、定量分析）第八章立体几何与几何画板（三视图、动态演示）第九章不等式与几何画板（四）课程评价1、评价的目的是为了促进学生掌握本课程的基本知识，了解几何画板在数学中的应用价值，感受它的实际作用，帮助学生能够进一步地细化一些数学知识。2、评价要面向全体学生，要由学生自评、互评、教师评议相结合。3、评价应考虑学生的参与的主动性，协作精神等因素，对有很强的进取精神的学生进行进一步的指导，向更高的层次进步，同时对一些作出精彩作品的学生给予应有奖励。三、课程的实践与思考（一）绘制精确函数的图像，直观展示函数的性质函数是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分；同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻划，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。就如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数难入微。”函数的两种表达方式（解析式和图象）之间常常需要对照（如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、比较指数函数和对数函数图象之间的关系等）。为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端；应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事倍功半的效果。案例1：高中数学对函数)(cxbcxay的性质分析实验首先考察函数xxy1，由于此函数的特殊性：既可利用最值定理来分析，又可以利用函数单调性来分析，因此成为高中数学的一个难点。但由于它不是基本函数，我们没有对其进行系统的学习，只能结合其图象进行分析，利用参数的变化，观察图像的变化，总结出函数的性质。（二）动态演示，直观感知空间几何体的位置关系立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质；它所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。从平面图形到空间图形，从平面观念过渡到立体观念，无疑是认识上的一次飞跃。初学立体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来，学生不得不根据歪曲真象的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。而应用《几何画板》将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。案例2：研究长方体ABCD-////DCBA中，异面直线A/B与CC/的位置关系。通过水平转到和圆周转动，从不同角度观察它们的位置关系，这种图形的直观地变动有利于帮助学生建立空间观念和空间想象力。（三）探寻点的轨迹，挖掘圆锥曲线中的数量关系点的轨迹的问题，一直以来都是学生们比较难以理解和掌握的问题，大多数学生只能在头脑中简单地想象或手工地画出其草图，而这样又不能保证所画图像的精确性，尤其是对初学者来说，更难以形成自己的知识，达到熟练应用的程度。如果应用《几何画板》，就可以动态地描绘出轨迹的形成过程，使学生能够更容易地抓住其本质进行学习。案例3：在学习椭圆这一部分内容时，可以利用《几何画板》来演示椭圆的形成过程。在教学过程中，我们不妨在课堂上一步一步地直接给出该课件的制作过程。通过对这个过程的了解，学生可以非常容易地知道点C就是到定点F1、F2等于定长的点。当点P在圆上不停地运动的时候，点C的轨迹则正好就是椭圆。于是椭圆的形成过程就完全地展现在学生的面前，这对于他们的形象记忆是很有好处的。当然，为了更好地说明问题，我们还可以测算出F1C、F2C以及二者的长度之和，这样可以使学生非常方便地观察出动点C在运动过程中其他的量与量之间的关系，从而对椭圆的形成过程有进一步的认识。这样通过对《几何画板》的运用，使这个问题得到了很好的解决，比单纯地口述或简单地画草图要直观得多，容易理解得多。（四）方便变式教学，充分体验探究过程学好高中数学就应学会善于解题。解题能力的高低，是衡量学生数学水平的重要标志。所以，如何在习题课教学中挖掘题目隐含条件、暴露题目思维过程、探索题目思维属性，一直是广大教师孜孜不倦追求的目标。若用《几何画板》，将大大提高解题的速度外，更能引伸和拓展题目本身所赋予的思维本质和数学思想方法。案例4：探究：设OA、OB是抛物线y2=2px的弦，O为坐标原点。若OA⊥OB即kOA.kOB=-1，则弦AB必恒过定点（2p，0），让学生先探索：通过角AOB旋转动画，跟踪直线的轨迹，就很清晰看出直线过定点旋转，再让学生进行逻辑推理。推广1：设MA、MB是抛物线y2=2px的弦，M为一定点，若MA⊥MB即kMA.kMB=-1。弦AB必恒过定点？通过把O点移动到M点，再让角AOB旋转动画，跟踪直线的轨迹，就很清晰看出直线过定点旋转，再让学生进行逻辑推理。推广2：设OA、OB是抛物线y2=2px的弦，O为坐标原点。若kOA.kOB=R（R-1的定值）。弦AB必恒过定点？通过把-1变为常数R，再角AOB旋转动画，跟踪直线的轨迹，就很清晰看出直线过定点旋转，再让学生进行逻辑推理。再类比探究：以上问题中的抛物线改为椭圆或双曲线，结论还会成立吗？解析：结论还是如此——恒过定点.（五）讨论方程或不等式的解（集），形象直观“方程”、“函数”和“不等式”之间存在着一定的相互依存关系。在学习的过程中，我们往往要利用这种关系，将某些方程或不等式的问题转化为函数的问题，并最终图像化。通过函数图像中存在的交点及交点的变化情况，揭示问题的内在本质和参数的几何意义，从而使问题简化。《几何画板》在这方面也给我们提供了一个很好的平台，可以很方便地从图形的变化中，让学生进行感知，去寻求对策，进而运用合理的数学运算、推理等方法使问题得到彻底解决。案例5：讨论方程)2lg()4lg(lgxaxx（a为参数）的根的情况，并求出其根。将方程转化为：)40(022xaxx将方程重组：axx22建立函数：xxy221和ay2然后，我们构建函数的图像，利用函数ay2这一动直线的移动变化观察出函数xxy221在)4,0(x这一区间的交点的个数，得到原方程的根的存在情况。这样在这个演示实验的帮助下，使学生能获得更加深刻的认识。四、结束语校本课程的开发和建设是一个漫长的道路，需要我们时时刻刻做一个有心人，心中时时刻刻装着为学生的终身发展和可持续发展考虑，装着为我们数学教学向数学教育转变服务的理想和追求。本人也是提出一些设想，并做了初步的尝试。今后还有许多问题等待着我们去探讨，已有的成果也有待于不断完善，不断修改。因此，数学校本课程的开发仅从纯数学的角度出发是远远不够的，跨越学科，分析更大的系统，组织更大规模的实验，提出更深、更多的理论和方法是以后研究的的方向。参考文献：严士健张奠宙主编《数学课程标准解读》江苏教育出版社，2010