数学建模培训题 航空货运问题(改编自美赛倒煤台问题)点评解析

点评：航空货运问题一、基本参数1、货机：假设均匀分布每天三架货机。2、工作时间5：00—20：00设置为t：[0，15]？每天货机到达时间：5：00—20：00；一工作组装满装卸场：6小时；一货机装满：3小时；装卸台的容量：1.5货机；3、费用系数：停机费（等待装货）：15000元/小时架一工作组：每小时9000元；二工作组：每小时12000元4、服务原则：假设先来先服务二、模型建立：概率计算模型（一）概率分布1、三架货机到达的时刻3,2,1,iti服从[0，15]上的均匀分布，则：密度函数：1,01515ftt分布函数：,01515tFtt2、设,,分别是首架货机到达时刻、第一架与第二架间隔、第二架与第三架间隔，（1）的分布函数331321321321321321))(1(1))(1(1)()()(1),,(1)()()},,(min{)()(1tFttPttPttPttPttttttPttttttPttttttPttttPtPtFt的密度函数：112515151)151(3]1[3)(')(22211tttftFtFtftt]15,0[t（2）其余两货机到达与第一个到达的货机的间隔21,tt在0到15-之间是均匀分布的于是：151)(tfit,150t；15)(ttFit,150t，i=1,2的密度函数/121212()()()1()1()()FtPtPttttPttttPttPtt221)](1[1)](1[11tFttPt2//15152)()](1[2)(')(11ttftFtFtftt（3）第三架货机到达与第二个到达的货机的间隔在0和15--之间是均匀分布的，于是：的密度函数151),/(f3、联合概率分布条件概率（A|B）公式bfbaffbba,/,,联合概率分布：11252112515*1515*2*151**151**,,22//),/(fffffpdf4、另：顺序统计量前k个(1)kn次序统计量的联合密度为:12112![1()]()()!(,,,)0knkkininnFxfxaxxxbnkfxxx其他特别地，当3kn时有……（二）优化模型模型：只要是优化必须给个优化模型！——如何调用、调用第二班、三班②目标——费用③——货机到达——随机——概率分布①——费用期望值③约束——时间关系（1）决策变量：调用工作组（一、二个）与到达时间有关（2）目标：费用费用=工作组装装卸台+第一架停机费+第二架停机费+第三架停机费其中：第一架停机费受前一天工作状态影响，情形比较复杂，我们不直接讨论，而是用迟滞概率讨论代替。123,,,,,,,,xCCC123,,CCC分别代表工作组装装卸台费用、第二架停机费、第三架停机费由于货机到达——随机——概率分布——费用期望值（3）模型费用期望值（每天的平均费用）最小：min,,,,,,DExxpdfddd:st123,,,,,,,,xCCC另：费用波动程度——方差：dddpdfExxDii,,),,(,,2装卸台迟滞的概率：指在一天装船工作完成后，在第二天开始之前，未能将装卸台装满货物，这样就有可能为第二天的装船工作造成损失，其计算方法为：pdfd1在内，无迟滞。三、模型求解1、决策：制定规则（1）规则的选择：为什么要制定规则？规则1：无论任何情况，只使用一个工作组，而且在装货机前，装卸台必须卸满货。规则2：无论任何情况，都使用两个工作组，而且在装货机前，装卸台必须卸满。规则3：只使用一个工作组，在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或是下一架货机到达。规则4：总是使用两个工作组，在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货物，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或是下一架货机到达。规则5：如果装卸场上的贮量不足一架货机的负载，则调用两个工作组，否则只使用一个工作组。在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货物，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或下一架货机到达。*规则6：当货机到达时，如果装卸场上的贮量不足一架货机的负载，则调用两个工作组，否则只使用一个工作组。在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货物，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或下一架货机到达。*规则7：以一定的货机到达时间分布来确定是否调用两个工作组，比如三架货机很晚还未到达，则调用两个工作组…………（2）一般说明规则1、2、3一定不是最优的停机费：15000元/小时架二班费：每小时12000元规则4、5不一定规则6计算比较麻烦规则7可操作性太差注：为使讨论简单，不放弃规则1、2、32、模型求解（1）（规则3）费用=工作组装装卸台+第二架停机费+第三架停机费3123,,xCCC假设：5：00装卸台已装满的费用公式：工作组装装卸台：1129000C310810第二架停机费：2+33+4215000(5),320,5C积分区域05:015015D5151522000215000(5)268750/91125DCCpdfdDddd第三架停机费315000(12),521215000(32),7320,(712)(75)C0705:012715015015D7121533000215000(12)1125DCCpdfdDddd15015750)5(1500011252ddd=594580/9+20750/3matlab求出：jisuan1.m则：3123(,,)ExCCC=210.84（千元）方差：略装卸台迟滞概率不迟滞的范围:]15,0[],10,0[],3,0[迟滞概率为：301001501125211dddpdfdMatlab：jisuan1.mp=0.5787——高！（2）规则四：类似1261C(千元)404)4(150002C其它045)4(1500095)9(150003C15014090072.0112521ddd（3）规则五：1081C4300043000)4(150002C4)4(150003000430006)4(25.05])4(5.05[15000)]4(25.01[6000)4(25.05)]4(25.01[6000649)9(1500060009600043C积分可以做，很麻烦：用计算机模拟简单一些迟滞概率的计算：150120602640.0112521ddd（4）五种规则的结果：费用及标准差（以千元为单位）规则基本费用额外费用均值全部费用均值标准差迟滞概率11081552636957.60%212682208357.20%31081022116157.60%412660186477.20%5108681764721.50%3、结果分析：（1）规则5：所需费用最少最优?但规则5迟滞第二天的概率比规则4要高得多，那么在长时间的运转后，规则5的迟滞费用与基本费用之和将超过规则4：可讨论（2）规则4：修改即当最后一架货机装满后，若我们只使用一个工作组，可以在第二天早上5：00之前可以装满装卸台，则只使用一个工作组，这样不增加迟滞到第二天的概率，还可以相应地减少基本费用。基本费用：(9+12)*6=126——(9+12)*3+9*6=117——9注：改进后的规则与规则四的唯一区别在于，最后一架货机走后，如果能只用一个工作组就用一个，其它的都一样。所以，改进后的规则相比规则四，节约的费用就是少用第二个工作组的费用。下面来计算节约的费用：当1160且时可以不用第二个工作组概率为：15010060657.011252ddd节约的费用=9*0.657=5.913（千元）——花费3.0870（千元）进一步修改后的规则4：调用第二个工作组够用为度，还可以节省计算结果表明，修改后的规则4可以是最优的（3）据此，我们给出下面的规则：要使用两个工作组。在一架货机装船之前，装卸场至少应存有可装满一架货机的货物。若无货机等待装货，装卸场应继续装货，直到货机到达或货场已经装满。当最后一架货机离开后，若一个工作组在装卸场卸货，并且在第二天早上5：00之前可以使装卸台贮货量装满一货机，则不必使用第二个工作组。否则，调用第二个工作组够用为度。（4）总费用的计算每日费用的期望值和标准差：费用（千元）工作组费用迟滞费用合计标准差天1206018047年365天65,700898另：利用中心极限定理，构造90%的置信区间用X表示年装卸费用，X为费用均值，则：(||)0.9(/()//)(/)(/)2(/)1PXXaPaXXaaaa95.0)/(amatlab:norminv可知，/1.645a0.95853000a得：置信区间为90%的年装卸费用为65,700,000853,000。四、最优装卸问题的计算机模拟蒙特卡罗模拟（MonteCarlo）、模拟自举（Boosttrap）1、生成随机数Matlab基本：均匀分布rand(n)rand(m,n)标准正态randn(n)randn(m,n)特殊分布distributionrnd(mu,sigma,m,n)：分布+rnd(参数,矩阵阶数)分布：unif均匀bino二项poiss帕松norm正态exp指数tt分布chi22分布FF分布2、程序流程图起始框终止框执行框判别框程序走向注：要有开始和结束；程序中间要有走向；程序下一步要唯一3、最优装卸问题模拟一：一天的额外费用（1）算法描述第一步：生成三个[0，15]区间上均匀分布的随机数t1,t2,t3第二步：t1,t2,t3排序第三步：计算第一架货机走后第二架货机的额外费用：C2，第二架货机走后第三架货机的额外费用：C3第四步：重复第一至第三步n=200000次（模拟次数）第五步：计算n次全部额外费用的均值mean、标准差std，结束。（2）程序流程图（3）求解程序①程序框架sum=0;var=0;n=200000;fori=1:nt=15.*rand(1,3);%生成[0，15]区间上的三个随机数t=sort(t);%把三个数排序t21=t(2)-t(1);t32=t(3)-t(2);t31=t(3)-t(1);%定义增量，为书写、执行简单{求c2，c3的值}sum=sum+c2+c3;%和var=var+(c2