新课标2010高考数学二轮复习：专题九《分类讨论的思想》

-1-【专题九】分类讨论的思想【考情分析】高考中的分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”【知识交汇】分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。2.分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．3.运用分类讨论的思想解题的基本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的全域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论．4.明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；-2-⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。【思想方法】一、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论【例1】设0a，函数|1ln|)(2xaxxf.(1)当1a时,求曲线)(xfy在1x处的切线方程;(2)当),1[x时,求函数)(xf的最小值.【解析】（1）当1a时，|1ln|)(2xxxf令1x得,1)1(,2)1(ff所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线)(xfy在1x处的切线方程为：01yx。（2）①当ex时，axaxxfln)(2，xaxxf2)()(ex0a，0)(xf恒成立。)(xf在),[e上增函数。故当ex时，2min)(eefy②当ex1时，1ln)(2xaxxf，)2)(2(22)(axaxxxaxxf（ex1）（i）当,12a即20a时，)(xf在),1(ex时为正数，所以)(xf在区间),1[e上为增函数。故当1x时，ay1min，且此时)()1(eff(ii)当ea21，即222ea时，)(xf在)2,1(ax时为负数，在间),2(eax时为正数。所以)(xf在区间)2,1[a上为减函数，在],2(ea上为增函数-3-故当2ax时，2ln223minaaay，且此时)()2(efaf(iii)当ea2；即22ea时，)(xf在),1(ex时为负数，所以)(xf在区间[1,e]上为减函数，故当ex时，2min)(eefy。综上所述，当22ea时，)(xf在ex时和ex1时的最小值都是2e。所以此时)(xf的最小值为2)(eef；当222ea时，)(xf在ex时的最小值为2ln223)2(aaaaf，而)()2(efaf，所以此时)(xf的最小值为2ln223)2(aaaaf。当20a时，在ex时最小值为2e，在ex1时的最小值为af1)1(，而)()1(eff，所以此时)(xf的最小值为af1)1(所以函数)(xfy的最小值为222min2,22,2ln22320,1eaeeaaaaaay【点评】本题涉及的知识点有带绝对值的式子，因此要了解绝对值概念的定义，进行分类讨论。二、根据数学中的定理，公式和性质确定分类标准【例2】求和2nnSaaa=【解析】：当0a时，0nS；当0a时，此题为等比数列求和，①若1a时，则由求和公式，(1)1nnaaSa。②若1a时,nSn。-4-综合可得(1),(1)1,(1)nnaaaaSna【点评】：由于等比数列定义本身有条件限制，等比数列求和公式是分类给出的。因此，应用等比数列求和公式时也需要讨论，这里进行了两层分类：第一层分类的依据是等比数列的概念，分为0a和0a；第二层分类依据是等比数列求和公式的应用条件。三、涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论【例3】若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是.(只须写出一个可能的值)【解析】首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以VABCD=31SΔBCM·AD.CM=22DMCD=22)21(2=215.设N是BC的中点，则MN⊥BC，MN=22CNCM=1415=211，从而SΔBCM=21×2×211=211，故VABCD=31×211×1=611.-5-对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=122·)bac)(acb)(cba(222222222，不妨令a=b=2，c=1，则V=122·)441)(414)(144(=122·7=1214.四、问题中的条件是分类给出的【例4】（2009年湖北卷理科）已知数列na满足：1a＝m（m为正整数），1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时，当为奇数时。若6a＝1，则m所有可能的取值为__________。【解析】（1）若1am为偶数，则12a为偶,故223a224amma①当4m仍为偶数时，46832mmaa故13232mm②当4m为奇数时，4333114aam63144ma故31414m得m=4。（2）若1am为奇数，则213131aam为偶数，故3312ma必为偶数63116ma，所以3116m=1可得m=5五、解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5）的税收。设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),根据市场调-6-查,日销售量与xe(e为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。(1)求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值。解（1）设日销售量为4040,10,10,.xkkkeee40x10e则则日售量为件e则日利润40401030()(30)10xxexaLxxaeee（2）'4031()10xaxLxee①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35x41时，'()0Lx∴当x=35时，L（x）取最大值为510(5)ae②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，'()0,31,Lxxa令得易知当x=a+31时，L（x）取最大值为910ae综合上得5max910(5),(24)()10,(45)aaeaLxea用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备（即分类对象彼此交集为空集，并集为全集）。做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层类别不重复、不遗漏的分析讨论.”【专题演练】1．已知集合A={x｜x2–3x+2=0},B={x｜x2–ax+(a–1)=0}，C={x｜x2–mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，则a的值为，m的取值范围为.2给出定点A（a,0)（a＞0）和直线l：x=–1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.3.设函数f(x)=x2+｜x–a｜+1，x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的最小值.4.设aR，函数2()22.fxaxxa若()0fx的解集为A，|13,BxxAB，求实数a的取值范围。-7-【参考答案】1.解:A={1,2},B={x｜(x–1)(x–1+a)=0},由A∪B=A可得1–a=1或1–a=2；由A∩C=C，可知C={1}或.答案：2或33或（–22，22）2.解：依题意，记B（–1，b)，(b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=–bx.设点C(x,y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y｜=21||bbxy①依题设，点C在直线AB上，故有)(1axaby由x–a≠0，得axyab)1(②将②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0若y≠0，则(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)若y=0则b=0,∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）满足上式.综上，得点C的轨迹方程为（1–a）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x＜1)③此时方程③表示抛物线弧段；(ii)当a≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222axaayaaaax④所以当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段；当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.3.解：(1)当a=0时，函数f(–x)=(–x)2+｜–x｜+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2｜a｜+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)-8-此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x≤a时，函数f(x)=x2–x+a+1=(x–21)2+a+43若a≤21，则函数f(x)在(–∞,a］上单调递减.从而函数f(x)在（–∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1若a＞21，则函数f(x)在（–∞,a]上的最小值为f(21)=43+a，且f(21)≤f(a).②当x≥a时，函数f(x)=x2+x–a+1=(x+21)2–a+43若a≤–21，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(–21)=43–a，且f(–21)≤f(a)；若a＞–21，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增.从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当a≤–21时，函数f(x)的