南航材料力学第7讲(第3章 扭转)

1材料力学2020年9月19日第三章扭转（1）作业:3.8(c)3.103.113.132简单复习什么是温度应变？如何计算？什么是温度应力？如何避免过高的温度应力？什么情况下会产生装配应力？如何利用装配应力。什么是应力集中现象？什么是理论应力集中系数？塑性材料与脆性材料对应力集中的敏感程度有何不同？为什么？剪切的实用计算使用了什么假设？剪切强度条件如何？有效挤压面是如何计算的？挤压强度条件如何？3§2.12应力集中的概念由于截面尺寸的突然变化，使截面上的应力分布不再均匀，在某些部位出现远大于平均值的应力，这种现象称为应力集中。简要复习理论应力集中系数maxk应力集中的危害脆性材料－应力集中部位的应力首先达到强度极限而破坏。塑性材料－在交变应力作用下，应力集中部位首先产生疲劳裂纹而产生疲劳破坏。4§2.13剪切与挤压的实用计算1.剪切的实用计算简化假设：切应力在受剪面上均匀分布。切应力计算SFA名义切应力：受剪面的面积。强度条件SFA][5简化假设应力在挤压面上均匀分布。挤压应力有效挤压面面积等于实际挤压面面积沿总挤压力作用线方向的投影。bsbsFA挤压面上传递的力有效挤压面的面积。有效挤压面面积的计算2.挤压的实用计算6自我评价：2008年材料力学A卷考题7§3.1扭转的概念和实例扭转工程实例自行车，中轴受扭转8扭转工程实例9传动轴扭转工程实例10扭转工程实例11扭转工程实例扭转工程实例多多机械传动有大量受扭转构件12受力特点受扭转构件的受力特点——在垂直于杆轴的两平面内分别作用两个等值，反向的力偶。mm13轴以扭转变形为主的杆件------称为轴本章主要讨论等直圆轴的强度刚度计算14§3.2外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图驱动系统，常以功率和转速为设计依据。功率的单位为瓦(W)、千瓦(kW)或马力(HP)，转速的单位通常为转/分(r/min、rpm)这时的外力偶矩、扭矩该如何计算呢？15§3.2外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图1外力偶矩由理论力学知，功率ePMePM若功率的单位用千瓦，转速用n转/分:e10002π60PMn9549(Nm)Pn16kWeNmr/min9549PMn所以式中，功率的单位为千瓦，转速的单位为转/分若功率的单位为马力时，则公式为HPeNmr/min7024PMn2扭矩和扭矩图求内力的方法截面法e/kW/Nm9549/r/minPMne/HP/Nm7024/r/minPMn172扭矩和扭矩图求内力的方法截面法0)(FxMeTMT扭矩若取右段，将得到同样的结果。扭矩的正负号规定18扭矩的正负号规定扭矩图19例3.1已知：主动轮A的输入功率PA＝36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB＝PC＝11kW，PD＝14kW，转速n＝300r/min。求：扭矩图。解：1)由功率计算力偶矩20解：1)由功率计算力偶矩e9549AAPMn3695493001146NmeeBCMM350Nm,eDM446Nm2)求各段的扭矩1-1截面，取左段1eBTM350Nm212)求各段的扭矩1-1截面，取左段1eBTM350Nm2-2截面，取左段2ee()BCTMM700Nm222-2截面，取左段2ee()BCTMM700Nm3-3截面，取右段3eDTM446Nm画出扭矩图23画出扭矩图讨论若将轮A与轮D调换位置，扭矩图将怎样变化？24讨论若将轮A与轮D调换位置，扭矩图将怎样变化？最大扭矩增大67%！25§3.3纯剪切1薄壁圆筒扭转扭转时的切应力试验观察26轴线和周向线长度不变横截面和纵向截面上无正应力。横截面上只有切应力。试验观察27横截面和纵向截面上无正应力。横截面上只有切应力。切应力假设切应力沿厚度均匀分布取研究对象如图。内力系对x轴的矩应等于扭矩T。T28切应力假设切应力沿厚度均匀分布取研究对象如图。drt内力系对x轴的矩应等于扭矩T。22πrt又eTMe22πMrt2π0rTT292切应力互等定理纯剪切0Y0X0)(FzMyzxddd取单元体如图。两相对的面上，切应力大小相等，方向相反。xzyddd0303切应变、剪切胡克定律tan切应变rl纯剪切试验剪切胡克定律G当切应力不超过剪切比例极限时:G切变模量(剪切弹性模量)31剪切胡克定律G当切应力不超过剪切比例极限时:G切变模量(剪切弹性模量)G具有应力的量纲。对各向同性材料，三个弹性常数E,,G之间)1(2EG满足关系:324剪切应变能10du剪切应变能的推导过程与拉压应变能的推导过程相同。21u也可写为:剪切应变能密度当切应力小于剪切比例极限时:221Gu或:Gu2233§3.4圆轴扭转时的应力1变形几何关系试验观察(1)各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；试验现象:(2)各纵向线平行地倾斜一个微小角度，认为仍是直线；34平面假设圆轴扭转时，横截面保持为平面,并且只在原地绕轴线发生“刚性”转动。变形几何关系adaaddRxddRx35变形几何关系adaaddRxddRx距圆心为处ddx即：各点的切应变与其到圆心的距离成正比。ddx称为单位长度扭转角，简称单位扭转角。362物理关系1变形几何关系ddx即：各点的切应变与其到圆心的距离成正比。剪切胡克定律GddGx距圆心为处G切应力分布3静力关系切应力沿半径呈线性分布。373静力关系AdATAATd横截面上内力系对圆心的矩应等于扭矩T。即:dddAGAx2dddAGAxAAId2p记横截面对圆心O的极惯性矩。pddTGIxpddTxGI38AAId2p记横截面对圆心O的极惯性矩。pddTGIxpddTxGI代入切应力关系ddGxpIT最大切应力：,pmaxITR记:RIWtptWTmax39pIT最大切应力：,pmaxITR记:RIWtptWTmaxWt称为抗扭截面系数。注意：以上公式只对等直圆杆成立。对截面变化比较缓慢的圆截面直杆近似成立。此外，max应小于剪切比例极限。404圆轴扭转强度条件强度条件为:AAId2p实心圆轴4pπ,32DItWTmaxmax][注意：计算max应综合考虑T和Wt。5极惯性矩和抗扭截面系数的计算3π16tDW空心圆轴44pπ(1),32DI34π(1)16tDW其中:Dd/41例3.2已知：传动轴为无缝钢管，D=90mm，t=2.5mm，Tmax=1.5kN·m,[]=60MPa。求：校核轴的强度。解：计算WtDd3mm29400DtD2944.034π(1)16tDW34π90(10.944)16切应力tWTmax910294001500MPa51][42例3.3已知：同上例。将空心轴改为实心轴。要求与空心轴有相同的强度。Tmax=1.5kN·m。求：实心轴的直径。解：tWTmax311500π16D61051m0531.01D比较空心轴与实心轴实心轴截面积241m102.22A43比较空心轴与实心轴实心轴截面积241m102.22A空心轴截面积空心轴与实心轴截面积比242m1087.6A2.2287.612AA31.044例(书习题3.11)已知：P=7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝40MPa,空心圆轴的内外径之比=0.5。解：计算扭矩9549PTn1005.79549mN2.716求：实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。强度条件1maxtWT3116716.2πd61040实心轴][45计算扭矩9549PTn1005.79549mN2.716强度条件1maxtWT3116716.2πd][31616716.2π4010dm045.0mm45实心轴2maxtWT34216716.2π(1)D61040空心轴324616716.2π(10.5)4010Dm045989.0mm4661040][46§3.5圆轴扭转时的变形扭转角扭转变形两个横截面绕轴线的相对转角。pdd'GITxxGITddplxGIT0pd微段的扭转角整体的扭转角47lxGIT0pd整体的扭转角等直圆轴且扭矩不变时pGITlGIp圆轴的抗扭刚度。niiiiGIlT1p台阶轴或扭矩分段变化单位长度扭转角xdd'pGIT48等直圆轴且扭矩不变时单位长度扭转角xdd'pGITl'pGIT刚度条件maxmaxpTGI]'[(rad/m)若的单位为“度”，则maxmaxpTGI]'[(º/m)180π49例3.4已知：1、2轴共消耗功率0.756kW；3轴消耗功率2.98kW。4轴转速183.5r/min，G=80GPa。取解：计算力偶矩e9549IIIIPMnmN3.39[]=40MPa,[’]=1.5º/m。求：设计4轴的直径。50计算力偶矩e9549IIIIPMnmN3.39e9549IVIVPMnmN155取4轴,受力如图0xMeIIIMmN3.19451画出扭矩图计算力偶矩e39.3Nm,IIMe9549IVIVPMne194.3NmIIIM52画出扭矩图可得到：mN155maxT由强度条件tWTmaxmaxmax316πTD][max316π[]TDm0272.0由刚度条件maxmaxp180πTGImax4180(π/32)πTGD53由强度条件m0272.0D由刚度条件maxmaxp180πTGImax4180(π/32)πTGDmax4232180π[]TDGm0297.0]'[最后取：mm30D说明：本题实际上是弯扭组合变形的问题。由刚度条件控制54小结已知功率和转速，如何计算外力偶矩？扭矩的正负号规定？画扭矩图应注意些什么？什么是切应力互等定理？剪切胡克定律？三个弹性常数的关系？纯剪切时的应变能密度？实心圆轴受扭时的切应力分布？切应力计算公式？最大切应力与抗扭截面系数？强度条件？空心圆轴？扭转角、单位扭转角的计算？刚度条件？