2.1平面向量的实际背景及基本概念

2.1平面向量的实际背景及基本概念第二章平面向量2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量问题1:一千吨的大米和一千吨的铁谁更重?问题提出速度是既有大小又有方向的量.问题2:老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜,而猫由A向东南方向每秒10米的速度追.问猫能否抓到老鼠?质量是只有大小没有方向的量.OBA湖面上有三个景点O,A,B,一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B.1.在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？1.向量的物理背景与概念2.物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力,被拉长或压缩的弹簧的弹力…力是常见的物理量，也是既有大小又有方向的量.GFF（1）向量与数量既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量);只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.练习下列物理量不是向量的是（）①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功辨析：温度含零上和零下温度，所以温度是向量.（）直角坐标平面内的x轴，y轴是向量.（）一个实数，可用数轴上的点表示；一个二次函数，可用一条抛物线表示；一个角的正弦、余弦和正切，可用三角函数线(有向线段)表示…数学中有许多量都可以用几何方式表示.2.向量的几何表示由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，如3，2，-1…0123-1（1）数量的表示而且不同的点表示不同的数量.在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.A（起点）B（终点）如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作.ABuuur线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作.ABuuur||ABuuur思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？箭头所指的方向表示有向线段的方向.有向线段的三个要素：起点、方向、长度.有向线段使向量的“方向”得到了表示，而线段的长度可表示向量的大小，这样我们就可用有向线段表示向量.（2）向量的几何表示（3）向量的表示方法：AB一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如,,ABCDuuuruuurK若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，…（书写时用注意用表示），如上图.,,,abcrrrLar——用有向线段表示.画图时，我们常用有向线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.在建立了坐标系后，还可以用坐标表示向量（以后将学到）.向量的大小，就是向量的长度（或模）,记作，ABuuurABuuur||ABuuur||ar或者记作.（4）向量的模思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？零向量：长度为0的向量，记作.单位向量：长度等于1个单位的向量.0说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.00a|a|（）注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.ba||||ba有意义没有意义比例1：800000解：ACAB.AB表示A地至B地的位移；AC表示A地至C地的位移.例1如图，试根据图中比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并求出实际距离（精确到1km）.例题分析例2某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点.(1)作出向AB、BC、CD(1cm表示200m).(2)求DA的模.练习已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000km到达D地.(1)画图表示向量；(2)求飞机从A地到达D地的位移所对应的向量的模和方向.,ABuuur,BCuuurCDuuur2BA东北CD模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？a,b3.相等向量与共线向量（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量与相等，记作.abab（1）两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别.ABCDABCD注意：（2）零向量与零向量相等；（3）对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的.因此任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点的选取无关；向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.ABCDABCDABCD.有向线段和是不同的；而向量和是同一个向量即向量和有向线段是两个不同的概念.由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，二者只是一种对应关系.DCBABA思考2：如果非零向量与是相反向量，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？ABuuurCDuuur（2）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.向量相反的向量记作.aaaa零向量的相反向量仍是零向量.aa)（规定:辨析：1)如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量是平行向量.规定：零向量与任一向量平行（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量.向量与平行，记作a//bab2)平行向量所在的直线一定互相平行.0,//aa即（任意)（平行或者重合）①②③④ABCOlabc思考3：将向量平移，不会改变其长度和方向.如图，设是一组平行向量，任作一条与向量所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作，那么点A、B、C的位置关系如何？a,b,caOAa,OBb,OCc任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.（即二者是同一个概念！）不是.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线.思考4：如果非零向量与是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？ABuuurCDuuur平行（共线）向量与平行线段、共线线段的区别：①平行向量可以在同一直线上，但两平行线肯定不在同一直线上；②共线向量可以相互平行，在同一直线上的线段肯定不相互平行.思考5：若向量与平行（或共线），则向量与相等或相反吗？反之，若向量与相等或相反，则向量与平行（或共线）吗？abababab向量相等或相反向量平行注意：相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念.结论：平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性.思考7：对于向量，若，，那么吗？a,b,ca//bb//ca//c0b当时,成立.思考6：对于向量，若，，那么吗？a,b,cabbcac注意：规定零向量与任一向量平行（共线），故在向量问题中，注意考虑零向量的特殊性！成立.小结练习：1、口答题：(1)平行向量是否一定方向相同？（）(2)不相等的向量是否一定不平行？（）(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？（）(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？（）(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（）(6)两个非零向量相等的充分必要条件是什么？（）(7)共线向量一定在同一直线上吗？（）不一定不一定不一定零向量零向量平行向量长度相等且方向相同例3如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，分别写出与相等的向量.OACBDO==uuuruuuruuurOBDCEO==uuuruuuruuur,OAOBuuuruuur11个变式一：与向量长度相等的向量有多少个？OAuuur变式二：是否存在与向量长度相等，方向相反的向量？OAuuurFEuuurBAFEDCO变式三：与向量共线的向量有哪些？OAuuur，，CBDOFEuuuruuuruuur例题分析练习如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.以图中各点为起点和终点,写出：ABCDEABuuur与向量模相等的向量：与向量共线的向量：与向量相等的向量：与向量相等的向量：ABuuurABuuurECuuurAB相等的有7个长度相等的有15个练习在4×5排列方格中有一个向量以图中的格点为起点和终点，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？ABuuurABuuurABuuur练习如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知求证：.,ADDB=uuuruuur,DFBE=uuuruuurDEAF=uuuruuurABCDEF例4判断下列结论是否正确.（5）任一向量与它的相反向量不相等．（2）不相等的向量一定不平行．×××（1）单位向量都相等．（3）若非零向量,则．//ABCD//ABCD（4）四边形ABCD中,四边形ABCD是平行四边形．ABDC×下面几个命题：（2）若|a|=0，则a=0（5）若a=b，b=c，则a=c.A．0B.1C.2D.3其中正确的个数是()B（1）两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；（4）若,则四边形ABCD是平行四边形；ABDC（6）若a//b，b//c，则a//c.（3）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；例5对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？(2)把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；(1)把平行于直线L的所有单位向量的起点平移到L上的点P;解:(1)是直线L上与点P的距离为1的两个点；(2)是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆；(3)把平行于直线L的一切向量的起点平移到L上的点P.(3)直线L(4)把所有相等向量平移到同一个起点上.(4)一个点1.向量的定义及表示2.向量的模3.向量小结:定义表示几何表示字母表示大小方向大小方向零向量、单位向量平行向量(共线向量)相等向量、相反向量作业：P77～78练习+习题back课堂小测验：1.下列各量中不是向量的是（）A.浮力B.风速C.位移D.2.下列说法中错误的是（）A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为零C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）A.B.C.D.4.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必定.5.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b_______.6.在四边形ABCD中，AB=DC，且|AB|=|AD|，则四边形ABCD是.7.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证：KL=NM.1.D2.A3.D4.5不平行.6.菱形back