初中数学复习专题——类比思想

初中数学复习专题——类比思想胡桥一中赵晓晨学习目标：1、理解初中数学中的类比思想；2、体会类比思想在学习数学中起到的作用；3、能够运用类比思想解决数学问题。重难点：类比思想的运用学法指导：观察已知条件中哪些条件不变，哪些条件变化了，类比之前的数学方法，解决新产生的数学问题。解一元一次方程：2x+6=3-x解一元一次不等式：2x+6﹤3-x解：移项得：2x+x=3-62x+x﹤3-6合并同类项得：3x=-33x﹤-3系数化为1得：x=-1x﹤-1初步感受类比思想加深理解类比思想类比类比正比例函数一次函数正比例函数的图象正比例函数的性质一次函数的图象一次函数的性质以类比为主线k的几何意义k的几何意义类比知识拓展应用知识拓展应用类比（2008河南）18.（9分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．QPCBAAQBPC深刻体会类比思想QPCBAAQBPC证明：∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP—∠PAB＝∠BAC—∠PAB即∠QAB＝∠PAC在△ABQ和△ACP中AQ＝AP∠QAB＝∠PACAB＝AC∴△ABQ≌△ACP∴BQ＝CP证明：∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP+∠PAB＝∠BAC+∠PAB即∠QAB＝∠PAC在△ABQ和△ACP中AQ＝AP∠QAB＝∠PACAB＝AC∴△ABQ≌△ACP∴BQ＝CP类比一下归纳：什么是类比思想？类比思想（类比法），是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊或由特殊到一般的推理方法．学以致用ABADABAD（2010河南）22.（1）操作发现如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；（3）类比探求保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．GABCDEGFGABCDEGF解：（1）同意。连接EF，则∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF。∴Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF=DF。。，，则有，，设）知，）由（（yADxGFyBCxDFDFGF12，，，，3xGFBGBF2xBGABDCxCF2DFDC2222223xxyBFCFBCBCFRt）（，即中，在.22xyABADx22y，GABCDEGFｘｙｘ２ｘｘ２ｘGABCDEGGABCDEGFnｘｙｘnｘｘnｘ（n-1）ｘ。，，则有，，设）知，）由（（yADxGFyBCxDFDFGF13，）（，）（，，x1nGFBGBFx1-nCFnxBGABDCn.DFDCnn2nxyABADxn2y，222222x1nx1-nyBFCFBCBCFRt）（）（，即中，在。，，则有，，设）知，）由（（yADxGFyBCxDFDFGF12。，，则有，，设）知，）由（（yADxGFyBCxDFDFGF13类比一下，，，，3xGFBGBF2xBGABDCxCF2DFDC2222223xxyBFCFBCBCFRt）（，即中，在.22xyABADx22y，GABCDEGGABCDEGFｘｙｘ２ｘｘ２ｘGABCDEGGABCDEGFnｘｙｘnｘｘnｘ（n-1）ｘ，，，，xGFBGBFxBGABDCxCF.DFDCnn（n-1）（n+1），即中，在222BFCFBCBCFRty²+[（n-1）x]²=[（n+1）x]²2xyABADx2y，nnnnGABCDEGF解：连接EF，由（1）得，Rt△AEB≌Rt△GEB，Rt△DEF≌Rt△GEF，12435∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠1+∠5=90°，∴∠4=∠5∴Rt△AEB∽Rt△DFE，∴DEABDFAE2ABAD2ABADAD2ABAD2ABABADAD21ABCD21AD212222，，，，GABCDEGF解：连接EF，由（1）得，Rt△AEB≌Rt△GEB，Rt△DEF≌Rt△GEF，12435∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠1+∠5=90°，∴∠4=∠5∴Rt△AEB∽Rt△DFE，∴DEABDFAE，，，22AD21AB2AD2ABAB1AD21AD21ABCD1AD212ABAD4ABAD212ABAD2222，，nnnnnnn类比一下DFDCDFDC，改变为条件由GABCDEGF12435相同点：证明Rt△AEB∽Rt△DFE，得到DEABDFAE不同点：，，22AD2ABAD2ABABAD，）、（AD21ABCD1AD213nnn2ABAD4ABAD212ABAD2222，，nnnn2n，）、（AD21ABCD21AD2122ABAD2ABAD22，，，22AD21AB2AD2ABAB1AD21拓展提高（2012河南）（10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是_______________，CG和EH的数量关系是_________________，的值是．3EFAFCGCDCGCD图1DGCFEBAHAB=3EHCG=2EH32.232EH3EHCGCD2EHCG21BCBECGEHBCGBEHCDABEH3EHCDCDAB3EHAB3EFAFEHABAFBEFHHBGEH//AB1，，∽，∥∥，。，。∽，则于点交）作解：（（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若（m＞0），则的值是（用含m的代数式表示），试写出解答过程．AFmEFCDCG图1DGCFEBAH2m.2m2EHmEHCGCD2EHCG21BCBECGEHBCGBEHCDABEHmEHCDCDABmEHABmEFAFEHABAFBEFHHBGEH//AB2，，∽，∥∥，。，。∽，则于点交）作解：（类比一下。∽，则于点交）作解：（AFBEFHHBGEH//AB1。∽，则于点交）作解：（AFBEFHHBGEH//AB23EHCDCDAB3EHAB3EFAFEHAB，。，，，，∽，∥∥2EHCG21BCBECGEHBCGBEHCDABEH，，，∽，∥∥2EHCG21BCBECGEHBCGBEHCDABEH.232EH3EHCGCDEHCDCDABEHABEFAFEHAB，，，mmm.22EHEHCGCDmm（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F.若（a＞0，b＞0），则的值是（）（用含a、b的代数式表示）．,ABBCabCDBEAFEF图3FBACDEHabbCDABbCDABEHABEFAFbCDEHbEHCDBEBCBEHBCDEHCDABEHABEFAFEHFABFEBDABEH3，，∽，∥∥，∽的延长线于点交∥）作解：（ab类比一下.232EH3EHCGCD2EHCG21BCBECGEHBCGBEHCDABEH3EHCDCDAB3EHAB3EFAFEHABAFBEFHHBGEH//AB1，，，∽，∥∥，，，。∽，则于点交）作解：（abbCDABbCDABEHABEFAFbCDEHbEHCDBEBCBEHBCDEHCDABEHABEFAFEHFABFEBDABEH3，，∽，∥∥，∽的延长线于点交∥）作解：（比较：1、辅助线一样；2、都是用相似三角形得成比例线段。原问题目标问题目标问题联想类比总结方法：学以致用：数学兴趣小组活动中，小明提出以下三个问题进行探究：（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF⊥AE交AB于F，探究AE与DF的数量关系，并说明理由；（口答）（2）如图2，正方形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，点G、H分别在AB、CD上，且EF⊥GH，探究EF与GH的数量关系，并说明理由；（3）如图3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E、F分别在AD、BC上，且EF⊥GH，探究EF与GH的数量关系，并说明理由。ACBDEFACBDEFHGACBDEFHG图1图2图3ACBDEFHGMN提示：类比第一问的方法，我们想到了平移平移之后和第一问一样。ACBDEFHG提示：类比第二问的方法，我们又想到了平移PQ但全等变成了相似。