人教a版数学【选修2-2】练习：2.2.1综合法与分析法(含答案)

选修2-2第二章2.22.2.1一、选择题1．(2013·陕西理，7)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定[答案]B[解析]由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以，sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，而sinA0，∴sinA＝1，A＝π2，所以△ABC是直角三角形．2．(2013·浙江理，3)已知x、y为正实数，则()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy[答案]D[解析]2lg(xy)＝2(lgx＋lgy)＝2lgx·2lgy.3．设a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤a2＋b22B．ab1a2＋b22C．aba2＋b221D．a2＋b221ab[答案]B[解析]aba＋b22a2＋b22(a≠b)．4．设0x1，则a＝2x，b＝1＋x，c＝11－x中最大的一个是()A．aB．bC．cD．不能确定[答案]C[解析]因为b－c＝(1＋x)－11－x＝1－x2－11－x＝－x21－x＜0，所以bc.又因为(1＋x)22x0，所以b＝1＋x2x＝a，所以abc.[点评]可用特值法：取x＝12，则a＝1，b＝32，c＝2.5．已知yx0，且x＋y＝1，那么()A．xx＋y2y2xyB．2xyxx＋y2yC．xx＋y22xyyD．x2xyx＋y2y[答案]D[解析]∵yx0，且x＋y＝1，∴设y＝34，x＝14，则x＋y2＝12，2xy＝38.所以有x2xyx＋y2y，故排除A、B、C，选D.6．已知函数f(x)＝12x，a、b∈R＋，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A、B、C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A[答案]A[解析]a＋b2≥ab≥2aba＋b，又函数f(x)＝(12)x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f(a＋b2)≤f(ab)≤f(2aba＋b)．二、填空题7．已知a0，b0，m＝lga＋b2，n＝lga＋b2，则m与n的大小关系为________．[答案]mn[解析]因为(a＋b)2＝a＋b＋2aba＋b0，所以a＋b2a＋b2，所以mn.8．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a、b、c的大小关系为________．[答案]acb[解析]b＝47＋3，c＝46＋2，显然bc，而a2＝2，c2＝8－212＝8－488－36＝2＝a2，所以ac.也可用a－c＝22－6＝8－60显然成立，即ac.9．如果aa＋bbab＋ba，则实数a、b应满足的条件是________．[答案]a≠b且a≥0，b≥0[解析]aa＋bbab＋ba⇔aa＋bb－ab－ba0⇔a(a－b)＋b(b－a)0⇔(a－b)(a－b)0⇔(a＋b)(a－b)20只需a≠b且a，b都不小于零即可．三、解答题10．(2013·华池一中高三期中)已知n∈N*，且n≥2，求证：1nn－n－1.[证明]要证1nn－n－1，即证1n－nn－1，只需证nn－1n－1，∵n≥2，∴只需证n(n－1)(n－1)2，只需证nn－1，只需证0－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．一、选择题11．(2013·大庆实验中学高二期中)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f′(x)f(x)成立，则()A．3f(ln2)2f(ln3)B．3f(ln2)2f(ln3)C．3f(ln2)＝2f(ln3)D．3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定[答案]B[解析]令F(x)＝flnxx(x0)，则F′(x)＝f′lnx－flnxx2，∵x0，∴lnx∈R，∵对任意x∈R都有f′(x)f(x)，∴f′(lnx)f(lnx)，∴F′(x)0，∴F(x)为增函数，∵320，∴F(3)f(2)，即fln33fln22，∴3f(ln2)2f(ln3)．12．要使3a－3b3a－b成立，a、b应满足的条件是()A．ab0且abB．ab0且abC．ab0且abD．ab0且ab或ab0且ab[答案]D[解析]3a－3b3a－b⇔a－b＋33ab2－33a2ba－b.∴3ab23a2b.∴当ab0时，有3b3a，即ba；当ab0时，有3b3a，即ba.13．(2014·哈六中期中)若两个正实数x、y满足1x＋4y＝1，且不等式x＋y4m2－3m有解，则实数m的取值范围是()A．(－1,4)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)[答案]B[解析]∵x0，y0，1x＋4y＝1，∴x＋y4＝(x＋y4)(1x＋4y)＝2＋y4x＋4xy≥2＋2y4x·4xy＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋y4的最小值为4，要使不等式m2－3mx＋y4有解，应有m2－3m4，∴m－1或m4，故选B.14．(2014·广东梅县东山中学期中)在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且对任意m、n都有：(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；其中正确的结论个数是()个．()A．3B．2C．1D．0[答案]A[解析]∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.二、填空题15．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝________.[答案]－12[解析]由题意sinα＋sinβ＝－sinγ①cosα＋cosβ＝－cosγ②①，②两边同时平方相加得2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝12cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－12.三、解答题16．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞0，求证：aa＋m＋bb＋m＞cc＋m.[证明]要证明aa＋m＋bb＋m＞cc＋m，只需证明aa＋m＋bb＋m－cc＋m＞0即可．∵aa＋m＋bb＋m－cc＋m＝ab＋mc＋m＋ba＋mc＋m－ca＋mb＋ma＋mb＋mc＋m，∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，∵△ABC中任意两边之和大于第三边，∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，∴aa＋m＋bb＋m＞cc＋m.17．求证：sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.[证明]要证明原等式成立．即证明sin(2α＋β)－2sinαcos(α＋β)＝sinβ，又因为sin(2α＋β)－2sinαcos(α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]－2sinαcos(α＋β)＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2sinαcos(α＋β)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ.所以原命题成立．