论周期函数的导函数与原函数的周期性

:2012－09－29:(1965－)，，，，．第34卷第1期()Vol．34No．12013年3月JournalofHuaibeiNormalUniversity(NaturalScience)Mar．2013(，230601):．;f(x)T，f(x)F(x)T∫T0f(x)dx=0;f(x)T，y'+ky=f(x)T，c，∫0－Tektf(t)dt+c(e－kT－1)=0．:;;;;:O172．1:A:2095－0691(2013)01－0019－031，()、()，、、，，．f(x)T，，a，∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx[1－2]．，，．2l，，S[3]．sinnπlx(n=1，2，…)cosnπlx(n=0，1，2，…，)．sinnπlx(n=1，2，…)cosnπlx(n=0，1，2，…)，S，，f(x)∈S，xf(x)，f(x)=a02∑+∞n=1(ancosnπlx+bnsinnπlx);xf(x)，fx－()0+fx+()02=a02∑+∞n=1(ancosnπlx+bnsinnπlx)．，an=1∫ll－l()fxcosnπldx，n=0，1，2，()…bn=1∫ll－l()fxsinnπldx，n=1，2，()…，，．20淮北师范大学学报(自然科学版)2013年第1期孙宝法:论周期函数的导函数与原函数的周期性21y'=f(x)．，f(x)T，y'=f(x)∫T0f(x)dx=0．f(x)T，y'+ky=f(x)(k≠0)？3f(x)T，y'+ky=f(x)(k≠0)T．，，T．y(x)=e－kx[∫ekxf(x)dx+c1]=e－kx[∫x0ektf(t)dt+c]．y(x)Ty(x+T)=y(x)，y(x+T)－y(x)=e－k(x+T)[∫x+T0ektf(t)dt+c]－e－kx[∫x0ektf(t)dt+c]=e－kx[∫x+T0ek(t－T)f(t)dt－∫x0ektf(t)dt+c(e－kT－1)]=0．∫x+T0ek(t－T)f(t)dt===t－T=u∫x－Tekuf(u+T)du=∫x－Tekuf(u)du=∫x－Tektf(t)dt，，∫0－Tektf(t)dt+c(e－kT－1)=0．∫0－Tektf(t)dt，e－kT－1≠0，，c=(1－e－kT)－1∫0－Tektf(t)dt．，c，y(x)T．T，y(x)=e－kx[∫x0ektf(t)dt+(1－e－kT)－1∫0－Tektf(t)dt]．y'+ky=f(x)，2，k=0，T∫T0f(x)dx=0，∫0－Tf(x)dx=0，c，∫0－Tektf(t)dt+c(e－kT－1)=0．3，k≠0，c=(1－e－kT)－1∫0－Tektf(t)dt，∫0－Tektf(t)dt+c(e－kT－1)=0，T．，23．4f(x)T，y'+ky=f(x)T，c，∫0－Tektf(t)dt+c(e－kT－1)=0．:[1]，．[M]．:，2003:212－213．[2]，．2001[M]．:，2000:134．[3]．[J]．，2002，21(4):61－63．OnthePeriodicityoftheDerivativeFunctionandthePrimitiveFunctionofaPeriodicFunctionSUNBao-fa(DepartmentofComputerScienceandTechnology，AnhuiSanlianUniversity，230601，Hefei，Anhui，China)Abstract:Theperiodicityofthederivativefunctionandtheprimitivefunctionofaperiodicfunctionwasstudied．Theconclusionsareasfollows．Atfirst，thederivativefunctionofadifferentialperiodicfunctionisaperiodicfunction．Secondly，letf(x)iscontinuousperiodicfunctionwithperiodT，astheprimitivefunctionoff(x)，F(x)isaperiodicfunctionwithperiodT．ifandonlyif∫T0f(x)dx=0．Andfinally，letf(x)iscontinuousperiodicfunctionwithperiodT，linearfirst－orderdifferentialequationy'+ky=f(x)hasaperiodicsolutionwithperiodT，ifandonlyifthereisaconstantc，suchthat∫0－Tektf(t)dt+c(e－kT－1)=0．Keywords:periodicfunction;derivativefunction;primitivefunction;linearfirst－orderdifferentialequation;periodicsolution