(完整版)集合与简易逻辑试卷及详细答案

集合与简易逻辑一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．集合M＝{x|lgx0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝()A．(1,2)B．[1,2)C．(1,2]D．[1,2]2.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于()A．{－1,2}B．{－1,0}C．{0,1}D．{1,2}3．已知∁ZA＝{x∈Z|x＜6}，∁ZB＝{x∈Z|x≤2}，则A与B的关系是()A．A⊆BB．A⊇BC．A＝BD．∁ZA∁ZB4．已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞dB．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图像不过第二象限C．p：x＝1，q：x2＝xD．p：a＞1，q：f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数6．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是()A．(非p)或qB．p且qC．(非p)且(非q)D．(非p)或(非q)7．下列命题中，真命题是()B．∀x∈R,2xx2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．a1，b1是ab1的充分条件8．已知命题p：“x3”是“x29”的充要条件，命题q：“ac2bc2”是“ab”的充要条件，则()A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．p真q假D．p，q均为假9．命题p：∀x∈R，x2＋10，命题q：∃θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是()A．p∧qB．(非p)∧qC．(非p)∨qD．p∧(非q)10．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为()A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行11．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤512．设x，y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“x216＋y29≤1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知集合A＝{1，a,5}，B＝{2，a2＋1}．若A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为________．14．命题“∃x∈R，x2＋ax－4a0”为假命题，是“－16≤a≤0”的________条件．15．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx1}，若A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.16．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则a的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．18．(本小题满分12分)已知命题“∃x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，求实数a的取值范围．19．(本小题满分12分)已知集合E＝{x||x－1|≥m}，F＝{x|10x＋61}．(1)若m＝3，求E∩F；(2)若E∪F＝R，求实数m的取值范围．20．(本小题满分12分)已知全集U＝R，非空集合A＝{x|x－2x－3a＋10}，B＝{x|x－a2－2x－a0}．(1)当a＝12时，求(∁UB)∩A；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．21．(本小题满分12分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C⊆∁RA，求a的取值范围．22．(本小题满分12分)已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．答案：一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．答案C解析因为M＝{x|x1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝{x|1x≤2}＝(1,2]．故选C项．2解析依题意知A＝{0,1}，(∁UA)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}，选A.3．答案A4．D．既不充分也不必要条件答案B解析∵“A∩{0,1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0,1}＝{0}”，∴“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．5．解析B选项中，当b＝1，a＞1时，q推不出p，因而p为q的充分不必要条件．C选项中，q为x＝0或1，q不能够推出p，因而p为q的充分不必要条件．D选项中，p、q可以互推，因而p为q的充要条件．故选A.6．答案D解析由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题綈q是真命题，于是(綈p)或(綈q)是真命题．7．答案D解析∵a10，b10，∴由不等式的性质，得ab1.即a1，b1⇒ab1.8．答案A解析由x3能够得出x29，反之不成立，故命题p是假命题；由ac2bc2能够推出ab，反之，因为1c20，所以由ab能推出ac2bc2成立，故命题q是真命题．因此选A.9．答案D解析易知p为真，q为假，非p为假，非q为真．由真值表可知p∧q假，(非p)∧q假，(非p)∨q假，p∧(非q)真，故选D.10．答案A解析命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或a＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”，所以选A.11．答案C解析命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.12．答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．答案0或－2解析若a＝2，则a2＋1＝5，A∩B＝{2,5}，不合题意舍去．若a2＋1＝1，则a＝0，A∩B＝{1}．若a2＋1＝5，则a＝±2.而a＝－2时，A∩B＝{5}．若a2＋1＝a，则a2－a＋1＝0无解．∴a＝0或a＝－2.14．答案充要解析∵“∃x∈R，x2＋ax－4a0”为假命题，∴“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，∴Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.故为充要条件．15．答案{2,4,6,8}解析A∪B＝{x∈N*|lgx1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．16．答案(0，12]解析由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤12，又a0，故a的取值范围是(0，12]．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17答案(1)2。(2)(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析由已知得：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[0,3]，∴m－2＝0，m＋2≥3.∴m＝2，m≥1.∴m＝2，即实数m的值为2.(2)∁RB＝{x|xm－2或xm＋2}．∵A⊆∁RB，∴m－23或m＋2－1.∴m5或m－3.∴实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．18．答案(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析依题意知，对任意x∈R，都有|x－a|＋|x＋1|2；由于|x－a|＋|x＋1|≥|(x－a)－(x＋1)|＝|a＋1|，因此有|a＋1|2，a＋1－2或a＋12，即a－3或a1.所以实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．19．答案(1){x|－6x≤－2}(2)m≤3解析(1)当m＝3时，E＝{x||x－1|≥3}＝{x|x≤－2或x≥4}，F＝{x|10x＋61}＝{x|x－4x＋60}＝{x|－6x4}．∴E∩F＝{x|x≤－2或x≥4}∩{x|－6x4}＝{x|－6x≤－2}．(2)∵E＝{x||x－1|≥m}，①当m≤0时，E＝R，E∪F＝R，满足条件．②当m0时，E＝{x|x≤1－m或x≥1＋m}，由E∪F＝R，F＝{x|－6x4}，∴1－m≥－6，1＋m≤4，m0，解得0m≤3.综上，实数m的取值范围为m≤3.20．答案(1){x|94≤x52}(2)[－12，13)∪(13，3－52]解析(1)当a＝12时，A＝{x|x－2x－520}＝{x|2x52}，B＝{x|x－94x－120}＝{x|12x94}，∴∁UB＝{x|x≤12或x≥94}．∴(∁UB)∩A＝{x|94≤x52}．(2)∵a2＋2a，∴B＝{x|axa2＋2}．①当3a＋12，即a13时，A＝{x|2x3a＋1}．∵p是q的充分条件，∴A⊆B.∴a≤2，3a＋1≤a2＋2，即13a≤3－52.②当3a＋1＝2，即a＝13时，A＝∅，不符合题意．③当3a＋12，即a13时，A＝{x|3a＋1x2}，由A⊆B，得a≤3a＋1，a2＋2≥2，∴－12≤a13.综上所述，实数a的取值范围是[－12，13)∪(13，3－52]．21．答案(1)(－4，－3]∪[1,2)(2)[－22，0)解析(1)由－x2－2x＋80，解得A＝(－4,2)．又y＝x＋1x＋1＝(x＋1)＋1x＋1－1，所以B＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)．所以A∩B＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)因为∁RA＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)，由(ax－1a)(x＋4)≤0，知a≠0.①当a0时，由(x－1a2)(x＋4)≤0，得C＝[－4，1a2]，不满足C⊆∁RA；②当a0时，由(x－1a2)(x＋4)≥0，得C＝(－∞，－4]∪[1a2，＋∞)，欲使C⊆∁RA，则1a2≥2，解得－22≤a0或0a≤22.又a0，所以－22≤a0.综上所述，所求a的取值范围是[－22，0)．22．答案{a|a2或a－2}解析由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0.∴x＝a2或x＝－a.∴当命题p为真命题时|a2|≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.又“只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p或q”为假命题，∴a2或a－2.即a的取值范围为{a|a2或a－2}．