经济数学建模 (2)

经济数学模型第三章金融应用模型经济数学模型第一节利率模型资金是有时间价值的，无论进行了什么样的经济活动，都必须认真考虑资金时间价值，千方百计缩短资金使用周期，加速资金周转，节省资金占用数量和时间，提高资金的经济效益。经济数学模型一、单利模型设年利率为r,初始资金量为S0,n年后资金量为Sn01nSSnr（）若年利率和本金都是常数，n年后的本利和为经济数学模型二、复利模型（利滚利）111,2,...nnSSrn（）01mnnrSSm（）1、离散型复利模型每年结算一次，n年后的本利和为每年结算m次，n年后的本利和为01nSSrn（）经济数学模型2、连续型复利模型连续结算（瞬时结算），n年后的本利和为00lim1mnrnnmrSSSem（）已知初始资金S0，用单利或复利计算n年后资金Sn的计算式称为终值模型；反之，已知n年后的终值Sn，求按年利率r折算到现在时间段的资金S0的模型称为现值模型。三、现值模型在现值模型中，将年利率r也称为折现率经济数学模型1、单利现值模型若n年后的终值是Sn,则初期的现值为01nSSnr0(1nSSnr（）)-011nnnnSSSrr（）（）2、复利现值模型每年折现一次，若n年后的终值是Sn,则初期的现值为0(1)nSSrn（）经济数学模型每年折现m次，若n年后的终值是Sn,则初期的现值为01mnnrSSm（）0rnnSSe0(1)mnnrSSm（）连续折现,若n年后的终值是Sn,则初期的现值为0()rnnSSe经济数学模型流出系统的资金称现金流出，流入系统的资金称现金流入，现金流入与现金流出之差称净现金流量。在财务分析中，把研究的项目视为一个系统，投入的资金、花费的成本、获得的收益，可以看成是以资金形式体现的该系统的资金流出或流入。在项目整个寿命期内各时点上实际发生的资金流出或流入称为现金流量。四、资金流的现值与终值模型现金流量图经济数学模型若在相同时间段资金量不是固定值，而是随时间段变化，用Ai表示第i阶段末的资金量(i=1,2,…n),r表示阶段的利率，则n个阶段全部资金量的终值S为-1-212n-11A(1)+A(1)+...+(1)+A(1)nnnnniiiSrrArAr资金终值公式现金流量图An-1A3A2A1Ans经济数学模型-01A(1)niiiSr若Ai表示净现金流,称S0为净现值，记为NPV则n个阶段全部资金量的现值S为若考虑现值，第i阶段资金的现值为Ai(1+r)-iA1A2A3An-1AnS0资金现值公式现金流量图经济数学模型若每个相同时间段资金数额相同都为A，即Ai=A，称A为年金。根据资金产生时间分为普通年金：从第一期开始每期期末收款、付款的年金。ＡＡＡＡ０１２３４预付年金：从第一期开始每期期初收款、付款的年金。ＡＡＡＡ０１２３４五、年金经济数学模型ＡＡＡＡ……A０１２３４……∞递延年金：在若干期以后收付的年金。永续年金：无限期的普通年金。ＡＡＡＡA０１２３４567经济数学模型-1-2-10A(1)+A(1)+...+(1)+(1+)1A(1)=AnnnniiSrrArArrr01(1+)S=S(1+r)=Annrr普通年金现值为普通年金终值（复利）为经济数学模型例假设以8%的利率借款500万元，投资于某个寿命期为12年的新技术，每年至少要收回多少现金才是有利的？解得A为因此，每年至少要收回663500元，才能还清贷款本利。A=5000000×0.1327=663500（元）121(1+)10.08500=A0.08nrAr设每年回收A元，据普通年金现值计算公式经济数学模型先付年金终值（复利）为1111nRFAR先付年金的现值为1111nRPAR永续年金无终值（∞），其现值为0n1(1+)S=limA=nrArr经济数学模型3.2连续资金流的终值与现值若各阶段资金量是时间t的连续函数f(t)，也称为连续资金流，若f(t)在（0，T)连续，则在时间段（t,t+△t)内资金的近似值为f(t)△t,若按连续复利计算，这些资金在期末的终值为(-)()trTtFfte由定积分思想，总收入的终值为T(-)0S()rTtftedt经济数学模型若求现值，设连续折现,记其对应的现值为S0,T年资金流量的总现值S0是(T)T000=()=()TTrTrtrrtSSefteedtftedt00A(1)TrtrTASedter特别，当f(t)=A时，有经济数学模型5000400Stt例某企业想购买一台设备，设备成本为5000元，t年后该设备的报废价值为使用该设备在t年时可使企业增加收入850－40t元，若年利率为5%，计算连续复利，企业应在什么时候报废这台设备？此时，总利润的现值是多少？解T年后总收入的现值为0.05085040TttedtT年后设备残值的现值为0.055000400TTe经济数学模型T年后总利润的现值为0.050.0508504050004005000TtTLTtedtTe0.0520020TLTTe852.25LT元为求最大值，对T求导得0LT令得T=10当T=10时，总利润的现值最大，故应在使用10年后报废这台机器，此时，企业所得利润的现值为T=10为唯一极大值点，就是最大值点。100L又经济数学模型3.3简单的投资决策模型投资决策分析对企业获利能力、资金结构、偿债能力及长远发展都有重要影响，投资决策方法非常多，最简单的技术方法可以分为非贴现法和贴现法两类,它们的区别在于前者不考虑货币的时间价值，计算简便；后者则考虑货币的时间价值，更科学、合理。非贴现法主要有回收期法和年平均报酬率法两种。贴现法主要有净现值法、内部收益率法和获利能力指数法三种。以贴现法为例分析。经济数学模型式中PT——动态投资回收期；CI——第t年的现金流入量；CO——第t年的现金流出量；ic——基准收益率。一、投资回收期(动态)0iCOCItctPtt)1()('0动态投资回收期是指在给定的基准收益率下，用方案各年资金净流量的现值来回收全部投资的现值所需的时间。公式：经济数学模型例年01234项目A的现金流量-1000400400400400现值系数（10%）10.90910.82640.75130.6830折现的现金流量-1000363.64330.56300.52273.2累计折现现金流量-1000-636.36-305.8-5.28267.92项目A的折现现金流量项目A的动态投资回收期=值当年的净现金流量折现现值上年累计净现金流量折累计净现金流量折现值开始出现正值的年份-1+=4-1+5.28/273.2=3.02(年)经济数学模型项目投资回收期在一定程度上显示了资本的周转速度。资本周转速度愈快，回收期愈短，风险愈小，盈利愈多。不足的是，投资回收期没有全面地考虑投资方案整个计算期内的现金流量，即忽略在投资回收期以后发生的数据,对总收入没有做考虑。只考虑回收之前的效果，不能反映投资回收之后的情况，无法准确衡量方案在整个计算期内的经济效果。投资回收期作为方案选择和项目排队的评价准则是不可靠的，它只能作为辅助评价指标。经济数学模型二、净现值（NPV）净现值是指方案在寿命期内各年的净现金流量按照设定的折现率折现到期初时的现值之和，反映了方案获利能力。其表达式为：0()(1)nttctNPVCICOi式中：NPV——净现值；CI——第t年的现金流入量；CO——第t年的现金流出量；n——该方案的计算期；ic——设定的折现率。经济数学模型对单一方案而言，若NPV≥0，则认为项目可行，若NPV0，则予以拒绝。对多方案比选时，净现值越大，方案越优。净现值的大小既取决于资金流量，也取决于所用的贴现率。对于同一项投资方案来讲，贴现率越小，净现值越大；反之，净现值越小。经济数学模型•原理通俗易懂，适用于任何均匀的资金流量(年金的现值)或不规则的资金流量，充分考虑了投资方案发生资金流量的先后时间以及整个寿命期间内的收益，体现了货币的时间价值。因而它是一种较为广泛使用的长期投资决策方法。•主要缺点是在投资额不相等的若干方案之间进行比较时，单纯看净现值的绝对额并不能做出正确的评价。因为在这种情况下，不同方案的净现值是不可比的。净现值的优缺点经济数学模型例年现金流量①现值系数（10%）②现值=①×②0-10001-100015000.9091454.5524000.8264330.5633000.7513225.3941000.683068.30NPV78.80项目的净现值单位：万元经济数学模型三、获利能力指数获利能力指数是项目投产后现金流量的现值之和与初始投资现值之和的比，表明项目单位投资的获利能力，记为PI。表达式为：获利能力指数显然和净现值很相似，但它反映了单位投资额的效益。与净现值指标相比，更便于投资额不等的多个项目之间的比较和排序。PI=投产后现金流量的总现值/初始投资总现值经济数学模型如果投资方案获利指数大于或等于1，为可行方案；如果获利指数小于1，则方案不可行；如果几个方案的获利指数均大于1，那么获利指数越大，投资方案越好。PI决策的标准是经济数学模型内部收益率（IRR）指能使项目的净现值等于零时的折现率。（四）内部收益率0()(1)0ntttCICOIRRIRR的决策标准：1、将方案的内部收益率与行业基准收益率对比，如果方案的IRR大于等于行业基准收益率，则方案可行，否则不可行；2、在可行的方案中，IRR最大的方案为最优方案；经济数学模型可以直接反映投资项目的实际收益水平，可以直接与行业基准收益率比较。计算过程不受基准收益率高低的影响，比较客观。IRR优点：例某公司有一完整工业项目。各年的现金净流量如图所示，假设该项目的基准折现率为10%.-30012345820-100828282822021211建设期用matlab计算得净现值NPV=71.97（万元），获利指数PI=1.1881内部收益率IRR=12.9%