有关角的计算题及解析

有关角的计算题及解析一．解答题（共12小题）1．如图，∠AOC，∠BOD都是直角；（1）求∠AOD+∠BOC；（2）若∠AOB与∠AOD的度数比是2：11，求∠AOD的度数．考点：余角和补角．菁优网版权所有分析：（1）求出∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOD，代入求出即可；（2）设∠AOB=2x，∠AOD=11x，根据∠AOD﹣∠AOB=90°得出方程11x﹣2x=90°，求出即可．解答：解：（1）∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=∠AOC+∠BOD=90°+90°=180°；（2）∵∠AOB：∠AOD=2：11，∴设∠AOB=2x，∠AOD=11x，∵∠AOD﹣∠AOB=90°，∴11x﹣2x=90°，解得x=10°，∴∠AOD=110°．点评：本题考查了角的有关计算，主要考查学生根据图形进行计算的能力，题目比较好，难度适中．2．某校研究性学习小组在学习完有关交的知识后，利用两个直角∠AOC与∠BOD开展了一下的探究性学习：（1）如图1，∠AOC=∠BOD=90°，通过观察他们发现∠COD与∠BOA互为补角，请你帮他们说明理由；（2）分别作∠AOC与∠BOD的平分线OM、ON，得到如图2，他们发现了∠COD与∠MON互为余角，请你帮他们说明理由．考点：余角和补角．菁优网版权所有分析：（1）反向延长OA到E，即可证得∠BOE=∠COD，据此即可求解；（2）首先求得∠AOM和∠BON的度数，则∠MON=∠AOB﹣∠AOM﹣∠BON=∠AOB﹣90°，然后根据（1）的结论即可求解．解答：解：（1）∵反向延长OA到E．∵∠AOC=90°，∴∠COE=90°，又∵∠BOD=90°，∴∠BOE+∠BOC=∠BOC+∠COD=90°，∴∠BOE=∠COD，∴∠COD+∠BOA=180°，即∠COD与∠BOA互为补角；（2）∵OM、ON分别是∠AOC与∠BOD的角平分线，∴∠AOM=∠AOC=45°，∠BON=∠BOD=45°，∴∠MON=∠AOB﹣∠AOM﹣∠BON=∠AOB﹣90°，又∵∠COD+∠BOA=180°，∴∠COD+∠MON=90°．点评：本题考查了补角和余角的定义，利用∠AOB表示出∠MON是本题的关键．3．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）写出图中与∠AOD互补的角是：∠BOD，∠C0D；与∠BOE互补的角是：∠AOE，∠COE．（2）求∠DOE的度数．考点：余角和补角．菁优网版权所有分析：（1）根据两个角的和为180°，这两个角互补，可得答案；（2）根据角平分线的性质，可得∠COE，∠COD，再根据角的和差，可得答案．解答：解：（1）写出图中与∠AOD互补的角是：∠BOD，∠COD；与∠BOE互补的角是：∠AOE，∠COE，故答案为：∠BOD，∠COD，∠AOE，∠COE．（2）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOC，∠COD=∠COB．由角的和差，得∠DOE=∠COE+∠COD=∠AOC+∠COB=∠AOB=90°．点评：本题考查了余角和补角，利用了补角的定义，角的和差，角平分线的性质．4．如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC=90°，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．考点：余角和补角．菁优网版权所有分析：根据补角的性质，可得∠AOB+∠COM=180°，根据角的和差，可得∠AOB+∠BOM=90°，根据角平分线的性质，可得∠BOM=∠AOB，根据解方程，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．解答：解：由∠AOB与∠COM互补，得∠AOB+∠COM=180°．由角的和差，得∠AOB+BOM+∠COB=180°，∠AOB+∠BOM=90°．由OM是∠AOB的平分线，得∠BOM=∠AOB，即∠AOB+∠AOB=90°．解得∠AOB=60°．由角的和差，得∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°+60°=150°．由ON平分∠AOC得，∠AON=∠AOC=×150°=75°，由角的和差，得∠BON=∠AON﹣∠AOB=75°﹣60°=15°．点评：本题考查了余角与补角，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质．5．如图，OA⊥OD，OC⊥OB．（1）∠AOC与∠BOD相等吗？请说明理由．（2）若∠AOB=130°，求∠COD和∠AOC的度数．考点：余角和补角．菁优网版权所有分析：（1）根据垂线的性质，可得∠AOD与∠COB的度数，根据余角的性质，可得答案；（2）根据角的和差，可得∠AOC的度数，根据余角的定义，可得∠COD的度数．解答：解：（1）∠AOC=∠BOD，理由如下：由OA⊥OD，OC⊥OB，得∠AOD=∠COB=90°．由角的和差，得∠AOC+∠COD=90°，∠BOD+∠COD=90°，由余角的性质，得∠AOC=∠BOD；（2）由角的和差，得∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=130°﹣90°=40°，由余角的定义，得∠COD=∠AOD﹣∠AOC=90°﹣40°=50°．点评：本题考查了余角和补角，利用余角的性质，角的和差．6．如图，A，O，B在一条直线上，AB⊥OD，且∠AOC=∠EOD．（1）若∠BOE是它的余角的一半，求∠DOE的大小；（2）若∠AOC：∠COB=1：2，求∠EOB的大小．考点：余角和补角．菁优网版权所有分析：（1）根据垂线的定义，可得∠BOD的度数，根据余角的性质，可得答案；（2）根据角的比例：∠AOC：∠COB=1：2，补角的性质，可得∠AOC的度数，根据根据余角的性质，可得答案．解答：解：（1）由AB⊥OD，得∠BOD=90°．由∠BOE是它的余角的一半，得∠BOE=∠DOE，即90°﹣∠DOE=∠DOE．解得∠DOE=60°；（2）由∠AOC：∠COB=1：2，得∠BOC=2∠AOC．由∠AOC+∠BOC=180°得∠AOC=60°．由∠AOC=∠EOD=60°，∠EOD+∠EOB=90°，得∠EOB=90°﹣∠EOD=90°﹣60°=30°．点评：本题考查了余角和补角，（1）由∠BOE是它的余角的一半，得90°﹣∠DOE=∠DOE是解题关键，（2）利用了角的和差∠AOC+∠BOC=180°得∠AOC=60°．7．如图，∠AMB=90°，∠CMD=90°，ME、MF分别是射线MA、MD的反向延长线．（1）图中哪些角是∠EMF的余角？为什么？（2）∠EMF与∠BMC是否相等？为什么？考点：余角和补角．菁优网版权所有分析：（1）结合图形，根据和为90度的两个角互为余角，可得∠EMF的余角；（2）根据同角或等角的余角相等，即可求解．解答：解：（1）∵∠EMF+∠EMC=90°，∠EMF+∠BMD=90°，∴图中∠EMC，∠BMD是∠EMF的余角；（2）∠EMF与∠BMC相等，∵∠EMF+∠EMC=90°，∠EMC+∠BMC=90°，∴∠EMF=∠BMC．点评：考查了余角和补角，正确观察图形，由图形联想到学过的定理是数学学习的一个基本要求．注意互补、互余的角都与位置无关．8．如图，直线AB，CD相交于点O，过点O画射线OE，若OB平分∠DOE，∠2：∠3=2：5，求∠AOD与∠AOC的度数．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．菁优网版权所有分析：由OB平分∠DOE，可得：∠1=∠2，由∠2：∠3=2：5，可得：∠1：∠2：∠3=2：2：5，然后由平角的定义可求∠1的度数，最后根据邻补角的定义及对顶角相等即可求出∠AOD与∠AOC的度数．解答：解：∵OB平分∠DOE，∴∠1=∠2，∵∠2：∠3=2：5，∴∠1：∠2：∠3=2：2：5，设∠1=2x，∠2=2x，∠3=5x，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴2x+2x+5x=180°，解得：x=20°，∴∠1=2x=40°，∠2=2x=40°，∠3=5x=100°，∵∠AOD+∠1=180°，∴∠AOD=140°，∵∠AOC与∠1是对顶角，∴∠AOC=∠1=40°．∴∠AOD=140°，∠AOC=40°．点评：此题考查了邻补角的定义及对顶角的性质，解题的关键是：根据角平分线的性质及平角的定义求出∠1的度数．9．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE=90°，OF平分∠AOE．（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系并说明理由；（2）若∠COF=34°26′，求∠BOD．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．菁优网版权所有分析：（1）根据对顶角的性质即可判断，∠AOC=∠BOD；（2）根据直角的定义可得∠COE=90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠AOC=∠AOF﹣∠COF求出∠AOC，再根据对顶角相等解答．解答：解：（1）∠AOC=∠BOD，理由如下：因为∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等，所以∠AOC=∠BOD；（2）∵∠COE是直角，∴∠COE=90°，∴∠EOF=∠COE﹣∠COF=90°﹣34°26′=55°34′，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠COE=55°34′，∴∠AOC=∠AOF﹣∠COF=55°34′﹣34°26′=21°08′，∴∠BOD=∠AOC=21°08′．点评：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．10．如图，直线AB、CD相交于点O，∠1=35°，∠2=75°，求∠EOB的度数．考点：对顶角、邻补角．菁优网版权所有分析：根据对顶角的性质，可得∠BOD的度数，再根据角的和差，可得答案．解答：解：由对顶角相等，得∠BOD=∠1=35°．由角的和差，得∠EOB=∠2+∠BOD=35°+75°=110°．点评：本题考查了对顶角、邻补角，利用了对顶角的性质，角的和差．11．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分且∠AOE：∠EOC=3：5，OF平分∠BOE．（1）若∠BOD=80°，求∠BOE；（2）若∠BOF=∠AOC+14°，求∠EOF．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．菁优网版权所有分析：（1）根据对顶角相等，可得∠AOC的度数，根据∠AOE：∠EOC=3：5，可得∠AOE，根据邻补角，可得答案；（2）根据角平分线的性质，可得∠BOE，根据∠AOE：∠EOC=3：5，可得∠AOE，根据邻补角的关系，可得关于∠AOC的方程，根据角的和差，可得∠BOE，根据角平分线的性质，可得答案．解答：解：（1）由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=80°，由OE把∠AOC分成两部分且∠AOE：∠EOC=3：5，得∠AOE=∠AOC×=30°，由邻补角，得∠BOE=180°﹣∠AOE=180°﹣30°=150°，（2）由OF平分∠BOE，得∠BOE=2∠BOF=2∠AOC+28°．由∠AOE：∠EOC=3：5，得∠AOE=∠AOC．由邻补角，得∠BOE+∠AOE=180°，即2∠AOC+28°+∠AOC=180°．解得∠AOC=64°，∠AOE=∠AOC=×64=24°，由角的和差，得∠BOE=180°﹣∠AOE=180°﹣24°=156°，由OF平分∠BOE，得∠EOF=∠BOE=×156°=78°．点评：本题考查了对顶角、邻补角，（1）利用了对顶角相等，邻补角互补，（2）利用了角平分线的性质，邻补角互补的性质，角的和差．12．已知，如图，EF、CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，若∠AOE=α°，求∠DOB的度数．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义；垂线．菁优网版权所有分析：根据邻补角的定义表示出∠AOF，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据平角等于180°列式整理即可得解．解答：解：∵∠AOE=α°，∴∠AOF=180°﹣α°，∵OC平分∠AOF，∴∠AOC=∠AOF=（180°﹣α°），∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠BOD=180°﹣90°﹣（180°﹣α°）=α°，即∠BOD=α°．点评：本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，垂线的定义，是基础题，熟记概念