行列式计算方法

关于行列式计算方法的研究摘要：本文探讨了行列式的计算方法问题，介绍了计算n阶行列式的几种行之有效的方法.除比较常用的定义法，化三角形法，升阶法，数学归纳法等法外，还介绍了利用降阶定理，幂级数变换，换元等技巧性较高的计算方法.只要灵活地运用这些计算技巧和方法，就可以基本上解决n阶行列式的计算问题.关键词：n阶行列式；递推关系式；升阶；幂级数变换；换元一、引言行列式的计算是高等代数的重要内容之一,也是学习中的一个难点.对于阶数较低的行列式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算出结果.对于一般的n阶行列式,特别是当n较大时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使计算大大简化，从而得出结果.本文介绍了几种计算方法，只要将各种方法综合地应用起来，就可以基本上解决n阶行列式的计算问题.二、行列式的定义及性质1定义：n阶行列式nnnnnnijnaaaaaaaaaaD.....................212222111211nnnjjjnjjjjjjaaa...21)...(212121...)1(其中)...(21njjj为排列njjj...21的逆序数.2性质(1)行列互换，行列式不变.(2)数k乘行列式的一行相当于数k乘此行列式.(3)若行列式中有两行相同，那么行列式为零.(4)若行列式中两行成比例，那么行列式为零..(5)若行列式中某行（列）的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行（列）元素，其余各行（列）与原行列式相同.(6)把行列式中一行的倍数加到另一行，行列式不变.(7)对换行列式中两行的位置，行列式反号.三、行列式的计算方法1利用行列式的定义来计算对于含零元素较多的行列式可用定义来计算.因为行列式的项中有一个因数为零时，该项的值就为零，故只须求出所有非零项即可.（法一）求出位于不同行，不同列的非零元素乘积的所有项.当行列式中含大量零元素，尤其是行列式的非零元素乘积项只有一项时，用此法计算非常简便.定理1一个n阶行列式中等于零的元素个数如果比n×n－n多，则此行列式等于零.证明：由行列式定义，该行列式展开后都是n个元素相乘，而n阶行列式共有n×n个元素.若等于零的元素个数大于n×n－n，那么非零元素个数就小于n个.因此该行列式的每项都至少含一个零元素，所以每项必等于零，故此行列式等于零.（法二）求出非零元素乘积nnjjjaaa...2121的列下标njjj,...,,21的所有n元排列，即可求出行列式的所有非零项.2化三角形法:把已知行列式通过行列式的性质化为下列三角形行列式中的某一种形式，则其值就可求出.n...00............0...00...021n......0...............0...21n...............0...0...021n...21===0...0............0...0...0021n=0...0............0......21n=..................0...0021n=nnn...)1(212)1((1)箭形行列式;(2)可化为箭形行列式的行式(3)行（列）的和相等的行列式这几种类型的行列式均可化为三角形行列式.3.用递推法计算行列式:利用行列式的性质,把某一行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的关系式(称为递推关系式），根据所得递推关系式及低阶某初始行列式的值便可递推求得所需的结果.文章给出了一类可化为21nnnbDaDD的递归行列式.的计算方法。当b等于0时，易得11DaDnn当b不等于0时，1211nnnCCD122121,DDCDDC02baxx,其中和为特征方程的两根。4.用升阶法计算行列式升阶法指的是在原行列式中再添加一行一列，使原来的n阶成n+1阶，且往往让n+1阶行列式的值与原n阶行列式的值相等.一般来说,阶数高的比阶数低的计算更复杂些.但如果合理地选择所添加的行，列元素，使新的行列式更便于“消零”的话，则升阶后有利于计算行列式的值.凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除主对角线上的元素外，其余元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例.升阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？要根据原行列式的特点作适当的选择..5.用降阶定理计算行列式,将行列式与矩阵联系在一起，用行列式的降阶定理计算n阶行列式，以使方法简单化.定理2设DCBAP,其中A为年n阶，D为m阶方阵。（1）若A可逆，则BCADAP1（2）若D可逆，则CBDADP1证明：（1）若A可逆，由分块矩阵的乘法，有BCADAEBAEDCBAECAE111000010011EBAEECAE由于，所以两边取行列式，BCADADCBAP1，同理可证（2）。定理3设A与D分别为n阶与m阶可逆阵，B与C分别为n×m阵与m×n阵，则CBDAADBCAD11证明：设DCBAP,由定理2BCADADCBAP1CBDAD1故，CBDAADBCAD11。6.用幂级数变换计算行列式把一类n阶行列式转化为差分方程，再利用幂级数变换求解差分方程，即可求出行列式的值.任给一个数列}{na,则可相应地作出一个幂级数0)(nnnxaxF,将)(xF叫做数列}{na的幂级数变换.给定一个幂级数0)(nnnxaxF唯一确定数列}{na数列与幂级数有对应关系..数列之间的运算关系同幂级数变换之间的运算关系是对应的.差分方程的结构是由数列项之间的递推关系而确定的，把行列式转化为差分方程，引入幂级数变换，通过幂级数的分析运算可求出行列式的值.例1.计算行列式解：将按第1列展开得：①此行列式序列是斐波那契数列，开始项为1,2，以后各项均为前两项之和.①式变形为，设②110......0001110...00001110...00........................0...0111000......011100......001110......00011nD21111,121DD21nnnDDD...)5,4,3(021nDDDnnn......)(33221nnxDxDxDxDxF用-x乘②式得:③用乘②式得:④②+③+④，得:又所以方程的两根为：且有......)(1433221nnxDxDxDxDxxF)(2x......)(25342312nnxDxDxDxDxFx...)(...)()()1)((21312321212nnnnxDDDxDDDxDDxDxxxF...)5,4,3.(021nDDDnnn21111,121DD1111)(222xxxxxxxF012xx251,25121xx5,1.1221xxxx1)11()(11))((1111)(2112212xxxxxxxxxxxxxF1)11()(1112212xxxxxxxx=⑤比较②式与⑤式的系数，得7.用换元法计算行列式:此法应用于当以同一个数改变行列式的所有元素时，其各元素的代数余子式容易计算的情形，它基于下面的定理.定理4设则其中是元素的代数余子式.1])1(.)1(.[)(101102212nnnnnnnxxxxxxxx==nnnnnxxxxx1121112)()1(])251()251[(5)1()()1(11121112nnnnnnnxxxxD])251()251[(5111nn=nnnnnnaaaaaaaaaD.....................212222111211xaxaxaxaxaxaxaxaxaDnnnnnn.....................2122221112111njiijAxDD1,1ijAija例2计算行列式解：把的所有元素都加上-x，得D的非主对角线元素的代数余子式等于零，而每一个主对角线元素的代数余子式等于主对角线其余元素的积，所以8.用拉普拉斯定理计算行列式定理5在行列式D中任选k行（或k列），由这k行（或k列）元素组成的一切k阶子式（共可组成个k阶子式）与它的代数余子式的乘积之和等于行列式D.xaxaxaDn...00............0...00...021)1...111()(211xaxaxaxxaxnniiknCnnaxxxaxxxaD.....................21niniinnxaxaxaxaxxaxaxaD111121)())(()()())((nD例3计算解：将按第n,n+1行展开，则继续依上法展开，直到推出可得9.用数学归纳法计算行列式：数学归纳法一般是在已知行列式的结果，或猜出其结果作出严格证明时用的方法.(论文中附有例12)10用逐行（或列）相加减法计算行列式：此法适合这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上，用此法可化出许多零元素来.312......4231......1122nnnnnnnnDnnD242312nD2DnnnnnnD)2(312645353424231...2312......5342......112nnnnnnnn例4.计算阶行列式分析：构成本行列式的特点是：第i行元素即相邻两行的对应元素或差为零或差为1，只有一个元素差为1-x.因此用逐行相减的方法可化出许多零元素及1来.解：从第2行起，每一行的（-1）倍都加到上一行上，有每相邻两列之间有许多相同元素(1或0)，且最后一行有(n-1)1...21.....................23...112...211...321xxxxxxxnnxxnnxnnDn)1,2,...,(iij1ij时当时当ijxaij1...11...000..................11...10011...11011...111xxxxxxxxD个元素都是x,因此可再用相邻两列逐列相减的方法：从第(n-1)列起，每一列的(-1)倍加到后一列上.(按第1列展开)注：对于本题第一次所作的变换逐行相减的结果，第二次作了逐列相减变换，得出的行列式，再按第一列展开后，成了两个n-1阶的特殊行列式.若第二次仍然作逐行相减，再按第一列展开，就没这么简单.xxxxxxxxxxxxxxn1...00...............00...1000...100...0)1(10...001...00...............00...1000...1)1(1nnnxx1)1()1(xxxxxxxxxD10...001...000..................00...10000...1000...01结束语综上所述，笔者介绍了计算行列式的十种常用方法，还有一些方法和技巧就不再一一列举了.应该指出：计算一个行列式往往有多种方法，有时计算一个行列式也需要几种方法配合使用.文中提到的有些解法对某些行列式，虽然不是最简单的方法，但它对于开阔思路，提高解题能力，训练综合运用各方面知识的能力是非常有益的.对于给定的行列式究竟选择何种