第一章---1.3---1.3.1---第一课时---函数的单调性

第一章2突破常考题型题型一1理解教材新知知识点一题型二题型三3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值第一课时函数的单调性返回1.3函数的基本性质返回1．3.1单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性返回[提出问题]观察下列函数图象：函数的单调性返回问题1：从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？提示：甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大．乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小．丙图中，在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小；在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大．返回问题2：甲、乙图中，若x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是什么？提示：甲图中，若x1x2，则f(x1)f(x2)；乙图中，若x1x2，则f(x1)f(x2)．问题3：丙图中，若x1x2，f(x1)f(x2)，则自变量x属于哪个区间？提示：[0，＋∞)．返回[导入新知]1．定义域为I的函数f(x)的增减性返回2．单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)，区间D叫做y＝f(x)的．单调性单调区间返回[化解疑难]1．x1，x2的三个特征(1)任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换；(2)有大小，即确定的两个值x1，x2必须区分大小，一般令x1x2；(3)同属一个单调区间．返回2．理解函数的单调性应注意的问题(1)函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．(2)函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性．返回(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．(4)并非所有的函数都具有单调性．如函数f(x)＝1，x是有理数，0，x是无理数就不具有单调性．返回由函数图象说明函数的单调性[例1](1)函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是()A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4](2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．返回(1)[解析]根据函数单调性定义及函数图象知f(x)在[－3,1]上单调递增．[答案]C返回(2)[解]y＝－x2＋2x＋1x≥0－x2－2x＋1x0，即y＝－x－12＋2x≥0－x＋12＋2x0，函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞]．返回[类题通法]由图象确定函数单调性的方法及注意事项(1)图象从左向右上升，叫函数递增；图象从左向右下降，则函数递减．(2)单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“∪”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接．返回[活学活用]求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3|x|；(2)f(x)＝|x2＋2x－3|.解：(1)f(x)＝3|x|＝3x，x≥0，－3x，x0.图象如图所示．f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．返回(2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1].返回函数单调性的证明[例2]求证：函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．[证明]对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1x2，有f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵x1x20，∴x2－x10，x1＋x20，x21x220.返回∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，有f(x1)－f(x2)＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵0x1x2，∴x2－x10，x2＋x10，x21x220.∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．返回[类题通法]利用定义证明函数单调性的步骤返回[活学活用]利用单调性的定义，证明函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋2x1＋1－x2＋2x2＋1＝x2－x1x1＋1x2＋1，∵－1x1x2，∴x2－x10，x1＋10，x2＋10.∴x2－x1x1＋1x2＋10.即f(x1)－f(x2)0，f(x1)f(x2)．∴y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数.返回由函数的单调性求参数的取值范围[例3](1)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)f(2a－1)，则a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，求实数a的取值范围．返回(1)[解析]由题意可知－11－a1，－12a－11解得0a1.①又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)f(2a－1)，∴1－a2a－1.即a23.②由①②可知，0a23，即所求a的取值范围是(0，23)．[答案](0，23)返回(2)[解]函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．返回由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上分别单调，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增；当a≥2时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减)，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．返回[类题通法]“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．返回[活学活用]若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∩(0,1)C．(0,1)D．(0,1]返回解析：因为g(x)＝ax在区间[1,2]上是减函数，所以a0.因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，所以a≤1.故满足题意的a的取值范围是(0,1]．答案：D返回4.研究函数的单调性易忽视定义域返回[典例]已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)f(1－x)，则x的取值范围为________．[解析]由题意，得－1≤x－2≤1－1≤1－x≤1，解得1≤x≤2①.因为f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)f(1－x)，所以x－21－x，解得x32②.由①②得1≤x32.[答案]1，32返回[类题通法]1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得到不等式x－21－x，从而得出x32的错误答案．2．解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则对任意x1，x2∈D，且f(x1)f(x2)，有x1x2；若函数y＝f(x)在区间D上是减函数，则对任意x1，x2∈D，且f(x1)f(x2)，有x1x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．返回[成功破障]函数y＝x＋1的单调递增区间为________．解析：∵x＋1≥0，∴x≥－1，∴函数y＝x＋1的单调递增区间为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)返回[随堂即时演练]1．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有fx1－fx2x1－x20”的是()A．f(x)＝2xB．f(x)＝－3x＋1C．f(x)＝x2＋4x＋3D．f(x)＝x＋1x返回解析：fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在(0，＋∞)上为增函数，而f(x)＝2x及f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故A，B错误；f(x)＝x＋1x在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故D错误；f(x)＝x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－1＝(x＋2)2－1，所以f(x)在[－2，＋∞)上递增，故只有C正确．答案：C返回2．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是()A．(－∞，0]，(－∞，1]B．(－∞，0]，(1，＋∞)C．[0，＋∞)，(－∞，1]D．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：分别作出f(x)与g(x)的图象得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，选C.答案：C返回3．若f(x)在R上是减函数，则f(－1)________f(a2＋1)(填“”或“”或“≥”或“≤”)．解析：∵f(x)在R上是减函数，∴对任意x1，x2，若x1x2均有f(x1)f(x2)．又∵－1a2＋1，∴f(－1)f(a2＋1)．答案：返回4．已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．解析：∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．又∵已知f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴1－a≥4，即a≤－3.∴所求实数a的取值范围是(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]返回5．求证：函数y＝1x－1在区间(1，＋∞)上为单调减函数．证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x2，则y1－y2＝1x1－1－1x2－1＝x2－1－x1－1x1－1x2－1返回＝x2－x1x1－1x2－1.∵x2x11，∴x1－10，x2－10，x2－x10，∴x2－x1x1－1x2－10∴y1y2∴函数y＝1x－1在区间(1，＋∞)上为单调减函数．“课时达标检测”见“课时跟踪检测（九）”