高中数学必修5导学案

高一数学必修5导学案§1.1.1正弦定理学习目标1.掌握正弦定理的内容；2.掌握正弦定理的证明方法；3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动．思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc，从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC．(探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=sinsinaBbA，则sinsinabAB，同理可得sinsincbCB，从而sinsinabABsincC．高一数学必修5导学案类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sinsinabABsincC．试试：（1）在ABC中，一定成立的等式是（）．A．sinsinaAbBB.coscosaAbBC.sinsinaBbAD.coscosaBbA（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于．[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA，，sinckC；（2）sinsinabABsincC等价于，sinsincbCB，sinaAsincC．（3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；b．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb；sinC．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※典型例题例1.在ABC中，已知45A，60B，42acm，解三角形．变式：在ABC中，已知45B，60C，12acm，解三角形．高一数学必修5导学案例2.在6,45,2,,ABCcAabBC中，求和．变式：在3,60,1,,ABCbBcaAC中，求和．三、总结提升※学习小结1.正弦定理：sinsinabABsincC2.正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※知识拓展sinsinabAB2sincRC，其中2R为外接圆直径.学习评价高一数学必修5导学案※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.在ABC中，若coscosAbBa，则ABC是（）.A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．等边三角形2.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶1∶3D．2∶2∶33.在△ABC中，若sinsinAB，则A与B的大小关系为（）.A.ABB.ABC.A≥BD.A、B的大小关系不能确定4.已知ABC中，sin:sin:sin1:2:3ABC，则::abc=．5.已知ABC中，A60，3a，则sinsinsinabcABC=．课后作业1.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120，解此三角形．2.已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，求实数k的取值范围为．高一数学必修5导学案§1.1.2余弦定理学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即==．复习2：在△ABC中，已知10c，A=45，C=30，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学※探究新知问题：在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b.∵AC，∴ACAC同理可得：2222cosabcbcA，2222coscababC．cabABC高一数学必修5导学案新知：余弦定理：三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos2bcaAbc，，．[理解定理]（1）若C=90，则cosC，这时222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC中，33a，2c，150B，求b．（2）△ABC中，2a，2b，31c，求A．※典型例题例1.在△ABC中，已知3a，2b，45B，求,AC和c．高一数学必修5导学案变式：在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，则BC＝________．例2.在△ABC中，已知三边长3a，4b，37c，求三角形的最大内角．变式：在ABC中，若222abcbc，求角A．高一数学必修5导学案三、总结提升※学习小结1.余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2.余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边．※知识拓展在△ABC中，若222abc，则角C是直角；若222abc，则角C是钝角；若222abc，则角C是锐角．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知a＝3，c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.A.342B.34C.222D.222.已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．1503.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A．513xB．13＜x＜5C．2＜x＜5D．5＜x＜54.在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．5.在△ABC中，已知三边a、b、c满足222bacab，则∠C等于．高一数学必修5导学案课后作业1.在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝1314，求最大角的余弦值．2.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求ABBC的值.§1.1正弦定理和余弦定理（练习）学习目标1.进一步熟悉正、余弦定理内容；2.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．学习过程一、课前准备复习1：在解三角形时已知三边求角，用定理；高一数学必修5导学案已知两边和夹角，求第三边，用定理；已知两角和一边，用定理．复习2：在△ABC中，已知A＝6，a＝252，b＝502，解此三角形．二、新课导学※学习探究探究：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.①A＝6，a＝25，b＝502；②A＝6，a＝5063，b＝502；③A＝6，a＝50，b＝502.思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．高一数学必修5导学案babababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1ABACB2CHHH试试：1.用图示分析（A为直角时）解的情况？2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？※典型例题例1.在ABC中，已知80a，100b，45A，试判断此三角形的解的情况．变式：在ABC中，若1a，12c，40C，则符合题意的b的值有_____个．高一数学必修5导学案例2.在ABC中，60A，1b，2c，求sinsinsinabcABC的值．变式：在ABC中，若55a，16b，且1sin22032abC，求角C．三、总结提升※学习小结高一数学必修5导学案1.已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2.已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3.已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4.已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※知识拓展在ABC中，已知,,abA，讨论三角形解的情况：①当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解；②当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sinabA，则有两解；（2）若sinabA，则只有一解；（3）若sinabA，则无解．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sin2sin3AB，则abb的值=（）.A.13B.23C.43D.532.已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）.A．135°B．90°C．120°D．150°3.如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（）.A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加长度决定4.在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosB＝．5.已知△ABC中，coscosbCcB，试判断△ABC的形状．课后作业1.在ABC中，axcm，2bcm，45B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围．高一数学必修5导学案2.在ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足2221sin24abcabC，求角C．§1.2应用举例—①测量距离学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题学习过程一、课前准备复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝232，c＝22，则∠A为.复习2：在△ABC中，sinA＝sinsincoscosBCBC，判断三角形的形状.二、新课导学高一数学必修5导学案※典型例题例1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75.求A、B两点的距离(精确到0.1m).提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边.新知1：基线在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线.例2.如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析：这是例1的变式题，研究的是两个的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.高一数学必修5导学案根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离.变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60°，ACD=30°，CDB=45°，BDA=