红蓝眼睛逻辑推理

题目设定是这样的，一个岛上有100个人，其中有5个红眼睛，95个蓝眼睛。这个岛有三个奇怪的宗教规则。1.他们不能照镜子，不能看自己眼睛的颜色。2.他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。3.一旦有人知道了自己是红眼睛，他就必须在当天夜里自杀。某天，有个旅行者到了这个岛上。由于不知道这里的规矩，所以他在和全岛人一起狂欢的时候，不留神就说了一句话：【你们这里有红眼睛的人。】最后的问题是：假设这个岛上的人足够聪明，每个人都可以做出缜密的逻辑推理。请问这个岛上将会发生什么？此问题的第一个答案是用数学归纳法得出的：如果这个岛上有N个红眼睛，那么在旅行者说这句话的第N天，他们全部都会自杀。具体到本题则是，在第5天，这个岛上的5个红眼睛会全部自杀。证明过程如下：如果这个岛上只有1个红眼睛，其他人都是蓝眼睛。那么，当旅行者说了这句话之后，此人立刻就会知道自己是红眼睛，他就会在当天自杀。即，当n取第一个值n0=1时，命题成立。假设当这个岛上有N个红眼睛的时候，在旅行者说了这句话之后的第N天，这些红眼睛会全部自杀。那么，当这个岛上有N+1个红眼睛的时候，在每个红眼睛看来，岛上都确定有N个红眼睛，并等待着他们在第N天自杀。而在第N天，大家都没有自杀。所以一到第N+1天，每个红眼睛都明白了这个岛上还有第N+1个红眼睛——他自己。于是大家都在第N+1天自杀了。所以命题得证：如果这个岛上有N个红眼睛，那么在旅行者说这句话的第N天，他们全部都会自杀。当岛上只有一个红眼睛的时候，在旅行者说完这句话的当天，他就会自杀。这个无疑。当岛上有两个红眼睛的时候。在旅行者说完这句话的当天，这两个红眼睛都在等着对方自杀，但对方却没有自杀。于是在第二天他们立刻明白了自己也是红眼睛，于是在第二天一起自杀了。以此往下推理，当岛上有三个红眼睛的时候。旅行者说完这句话，每个红眼睛都在等着第二天另外两个红眼睛集体自杀，但他们没有自杀。所以到了第三天，大家都明白了自己也是红眼睛，就一起自杀了。如此类推下去。就得出了命题：如果岛上有N个红眼睛，那么在旅行者说完这句话后的第N天，这个N个红眼睛会一起自杀。具体到本题就是，到了第五天，这五个红眼睛一起自杀。以上证明看起来非常美妙。可是。陶哲轩说，这个旅行者事实上讲了一句废话，没有带来任何新的信息。因为这岛上有95个蓝眼睛，5个红眼睛。每个人都知道这岛上有红眼睛的人。无非是蓝眼睛的人看到有5个红眼睛，红眼睛的人看到有4个红眼睛而已。旅行者说的那句【岛上有红眼睛的人】，没有输入任何新的信息，他说的就是岛上的人每天都看到的景象。所以哪怕岛上的人思维再缜密严谨，也不会有任何自杀的情况发生。到底是什么情况呢？以下各楼回答==【1】「游客没有输入任何新的信息」这个断言是错的。N=1的情形不必说了，显然输入了新信息。对于N1的情形，要注意，游客必须是当着所有人的面公开做出宣告，如果他是私下分别对每个人说的，就不会起任何作用。「公开宣告」这一举动的意义不是让每个人都知道「岛上有红眼睛」，而是让每个人都知道「每个人都知道每个人都知道……每个人都知道岛上有红眼睛」。在游客公开宣告之前，岛上的人是不可能具有这个多阶知识的，这就是游客输入的新信息。以N=2为例，公开宣告之后，红1立刻获得了一个新的2阶知识：「红2知道岛上有红眼睛」，在公开宣告之前，他没有能力判断这个2阶命题的真假，因为在这之前命题的真假依赖于红1自己的眼睛颜色。同样，红2也获得了新知识「红1知道岛上有红眼睛」。N=3时，公开宣告使得红1立刻获得了一个新的3阶知识：「红2知道红3知道岛上有红眼睛」，在此之前，这个3阶命题的真假也是依赖于红1自己的眼睛颜色（红则为真，蓝则为假）。同样，红2和红3也获得了类似的知识。N=4,5,6,...依此类推。简单说，「岛上有红眼睛」这件事本来只是一项「共有知识」，公开宣告使它变成了一项「公共知识」。这两种知识的区分在认知逻辑里面非常重要，在博弈论中有广泛的应用。用不严谨的话粗略介绍一下这两个概念：对于一个给定的命题P和一群给定的人，共有知识只需要满足一个条件：这群人中所有人都知道P，那么P就是这群人的共有知识。公共知识则需要满足以下所有条件：这群人中1、所有人都知道P；2、所有人都知道所有人都知道P；3、所有人都知道所有人都知道所有人都知道P；4、所有人都知道所有人都知道所有人都知道所有人都知道P；5、……一直下去，直到无穷。要同时满足这无穷多个条件，才能说P是这群人的公共知识。========看到有些人还是不明白为什么公开宣告之前没有人自杀，为什么宣告之后就会自杀了，以及为什么要等到第N天才自杀。以下就用N=4为例来分析一下，希望能有助于理解（但也有可能让人绕得更晕）。设4个红眼岛民分别为A,B,C,D，以下是A心中做出的推理：我看到3个红眼，这可以划分成一共5种情况：1、我是红的；2、我是蓝的，且B自认为是红的；3、我是蓝的，且B自认为是蓝的，且B认为C自认为是红的；4、我是蓝的，且B自认为是蓝的，且B认为C自认为是蓝的，且B认为C认为D自认为是红的；5、我是蓝的，且B自认为是蓝的，且B认为C自认为是蓝的，且B认为C认为D自认为是蓝的。假如没有游客来公开宣告「岛上有红眼」，那么A永远无法判断上述哪一种是真的。由于岛上所有人都做出同样的推理（蓝眼岛民推出的情形多一种），所以每个人都无法判断自己眼睛的颜色，大家都不用去死。而一旦公开宣告「岛上有红眼」，A立刻知道「B知道C知道D知道岛上有红眼」，因此可以立刻排除5；当晚没人死，因此第二天可排除4；第三天排除3；第四天排除2只剩下1，因此A在第四天晚上自杀。B,C,D也都做出完全一样的推理，所以也都在第四天晚上自杀。====补充====有人提到，这道题的一个必要前提是岛上的人要完全信任这个游客。这很对，但还不够。不仅每个人都要相信该游客，而且还必须每个人都知道每个人都知道……每个人都知道每个人都相信该游客。即「游客完全可信」这件事本身也必须是一个公共知识。只有这样，游客的宣告才会具备使共有知识转变为公共知识的力量。====补充2====从小到大，我们一次又一次地被旁人这样教训：「嘘，别说了，小心点。况且这种事谁不知道啊，还要你说？说出来又有什么用呢？你有力量改变它吗？」久而久之，我们越来越习惯于把「你懂的……」挂在嘴边，习惯于对房间里的大象视而不见，选择性遗忘了一个我们其实早就知道的重要事实：「大声说出来」跟「彼此心照不宣」有着决定性的区别。我们不是没有力量。一条恰当的宣言，哪怕它的内容只不过是「我知道」这么简简单单的一句话，也有可能引起整个社会的信念结构的根本改变，让许许多多人断然行动起来。这就是我们每一个人的力量。【2】如果所有岛民都对规则无比恐惧的话，第五天五个红眼都会自杀，但如果他们拖到第六天且管理规则的＂神＂没有做出任何反应的话，所有其他敬畏着规则的人都会自杀。这题目真心神逻辑，虽然挺复杂的但还算合理。这个岛绝不是什么可以狂欢的岛，想想多恐怖的后果才会让人自愿自杀。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第一次补充~~~~~~~~~~~~~~~~补充一下题目中隐藏的条件吧，没有这些条件很多事都不成立岛民们都相信：1.三条规则背后是一个可以知道岛民想法的“神”（杜绝了侥幸心理和心照不宣）2.违背规则会招致比死亡还可怕的后果，即“神罚”（让岛民们宁愿自杀也不愿违规）3.“神”具有不可违抗性，岛民无法推翻三条规则也无法逃到岛屿之外。4.岛上有红眼人，他们自己不知道，我也不能告诉他，也不能旁敲侧击的说自己看到多少红眼人。5.我不知道我是那种颜色，可能是红眼人，但我更愿意相信自己是蓝眼人。6.所有人都会像我这样想。蓝眼人相信：1.岛上有五个红眼人2.这五个红眼人也像我这样想，所以他们相信岛上只有四个红眼人，（深一层思维）他们还相信这四个红眼人相信岛上只有三个红眼人，（深一层）这三个红眼人会相信岛上只有两个红眼人，（深一层）这两个红眼人会相信岛上只有一个红眼人，（深一层）这一个红眼人会相信岛上包括自己全都是蓝眼人。红眼人相信：1.岛上有四个红眼人2.这四个人也会像我这样想，所以他们相信岛上只有三个红眼人……以此类推。这些岛民的智商真是突破天际，一个个都有N层思维，每多一个红眼人就要多一层思维。当旅行者告诉他们有红眼人的时候，人们第六层思维中的那个相信没有红眼人的红眼人就不存在了，一直到第五天早晨，红颜人们发现四个红眼人都没有自杀，就会在当天晚上自杀。这时候蓝眼人的神经也绷得紧紧的，因为再过一天没人自杀就证明他们自己也是红眼人了，然后95个蓝眼人会全部自杀。【3】为了想明白游客所说的“你们中间有一个红眼睛”这句话到底产生了什么影响，我们将问题简化为只有两个红眼睛，并对比他们的推理情况。情况一.我们可恶的旅客来到了岛上并说了这一句话这时候，我们的两个红眼睛朋友A和B就开始了题主所说的推理。首先A能看见，B是红眼睛。所以A想，因为B知道岛上必有一个红眼睛，所以如果自己不是红眼睛，B就会得出“B是红眼睛的结论”，那么他今天就会自杀。但是B没有。所以A明白了，原来自己也是红眼睛。考虑对称性，B也是这样想的。所以A和B第二天都自杀了。A和B的逻辑都是没问题的。情况二.我们可恶的游客没有出现这时候，我们还是有两位红眼睛朋友A和B。首先A还是能看见，B是红眼睛。但是注意！我们的逻辑在这里因为游客没有出现而断了。为什么？因为如果游客没有把“岛上有红眼睛”告诉所有人，A就不知道“B知道岛上有一个红眼睛”。也就无法继续上面推理。总结一下，当没有游客的时候，A同学知道的信息只有1.B是红眼睛。但是当有游客的时候，A同学知道的信息就有1.B是红眼睛2.B知道岛上有个红眼睛（当没有游客时，犹豫A不知道自己是否是红眼睛，所以他是不知道这一点的）OK，这是岛上只有两个人的情况，可见游客的出现才使推理变得可能。那么三个人的情况呢？当岛上有三个人A，B，C的时候，我们聪明的A同学又开始推理了。他首先看见有两个红眼睛同学B和C。他想，如果自己不是红眼睛，那么B和C就会因为只看见一个红眼睛，并且都知道对方知道岛上有红眼睛，而开始上述只有两个红眼睛的情况中的推理。到最后，A，B，C同学都自杀了。人数更多的时候可以类推。可见游客的出现并没有直接造成信息的增加，而是使推理变成了可能。【4】陶哲轩说，这个旅行者事实上讲了一句废话，没有带来任何新的信息。问题就在于上面这句话！！！这个题目有个隐含前提，就是岛上的居民不会互相交流岛上是否有红眼睛、有几个红眼睛这个信息，这个是岛上红眼睛居民能够保持稳定存活的一个前提，不然他们早自杀了。好，接下来开始做题。假设有99人蓝眼睛，1人红眼睛，则如果需要维持红眼睛不自杀的状态的话，则只有99人知道岛上有1个红眼睛的人，而1人不知道岛上有红眼睛的人，而当游客讲了岛上有红眼睛的人这句话后，那1个人收到新的信息了，也就是说他收到了新的信息，他知道岛上有红眼睛的人了，所以他必然自杀。假设有2人红眼睛，则有98人知道岛上有2个红眼睛的人，而剩下2个人都认为岛上只有1个红眼睛的人，而且双方都以为对方不知道岛上有红眼睛的人这个信息，而当游客讲了岛上有红眼睛的人这句话后，那2个人收到新的信息了，也就是说他们明白对方知道岛上有红眼睛的人这个信息了，但是对方却没有自杀，这个必然导致自己的自杀。假设有3人红眼睛，则有97人知道岛上有3个红眼睛的人，而剩下3个人都认为岛上只有2个红眼睛的人，并且以为其他两个人掌握了如上段归纳的信息，所以因为上段所述的原因，其他两个人必然在第二天自杀，但是，结果是其他两个人没有这么做，所以他们都收到了新的信息，知道其他两个人掌握的信息与上段归纳的信息不符，所以必然导致自己的自杀。【5】下面设k为红眼睛的人数，Ri(i=1,2,…,k)为红眼睛者，以K=1、k=2、k=3三种情况为例，展开进行阐述：k=1宣告前第一天，R1看到了99个蓝眼睛的人，但他不知道自己是红眼睛（他不确定这个岛上有红眼睛），也无法知道自己是红眼睛，所以R1不会自杀。蓝眼睛们各自看到了一个红眼睛和98个蓝眼睛，但是不知道自己是不是红眼睛，由