试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第1章 误差分析

试验设计与数据处理（第三版）ExperimentDesignandDataProcessing引言0.1试验设计与数据处理的发展概况20世纪20年代，英国生物统计学家及数学家费歇（R．A．Fisher）提出了方差分析20世纪50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法”我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计0.2试验设计与数据处理的意义0.2.1试验设计的目的:合理地安排试验,力求用较少的试验次数获得较好结果例：某试验研究了3个影响因素：A：A1，A2，A3B：B1，B2，B3C：C1，C2，C3全面试验：27次正交试验：9次0.2.2数据处理的目的通过误差分析，评判试验数据的可靠性；确定影响试验结果的因素主次，抓住主要矛盾，提高试验效率；确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系，并能对试验结果进行预测和优化；试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提供思路；确定最优试验方案或配方。第1章试验数据的误差分析误差分析（erroranalysis）：对原始数据的可靠性进行客观的评定误差（error）：试验中获得的试验值与它的客观真实值在数值上的不一致客观真实值——真值试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验过程中1.1真值与平均值1.1.1真值（truevalue）真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值真值一般是未知的相对的意义上来说，真值又是已知的平面三角形三内角之和恒为180°国家标准样品的标称值国际上公认的计量值高精度仪器所测之值多次试验值的平均值1.1.2平均值（mean）（1）算术平均值（arithmeticmean）121...ninixxxxxnn等精度试验值适合：试验值服从正态分布（2）加权平均值(weightedmean)适合不同试验值的精度或可靠性不一致时11221121......Wniinninniiwxwxwxwxxwi——权重加权和（3）对数平均值（logarithmicmean）说明：若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值对数平均值≤算术平均值如果1/2≤x1/x2≤2时，可用算术平均值代替121221121221lnlnlnlnLxxxxxxxxxxxxx设两个数：x1＞0，x2＞0，则（4）几何平均值（geometricmean）当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时，宜采用几何平均值。几何平均值≤算术平均值11212...(...)Gnnnnxxxxxxx设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则（5）调和平均值（harmonicmean）常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合调和平均值≤几何平均值≤算术平均值1121111...1ninixxxxHnn设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：Excel在计算平均值中的应用1.2误差的基本概念1.2.1绝对误差（absoluteerror）（1）定义绝对误差＝试验值－真值或maxtxxxxtxxx（2）说明真值未知，绝对误差也未知可以估计出绝对误差的范围：绝对误差限或绝对误差上界或maxtxxx绝对误差估算方法：最小刻度的一半为绝对误差；最小刻度为最大绝对误差；根据仪表精度等级计算：绝对误差=量程×精度等级%1.2.2相对误差（relativeerror）（1）定义：绝对误差相对误差真值tRttxxxExx或RxEx（2）说明：真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：RxEx或可以估计出相对误差的大小范围：maxRttxxExx相对误差限或相对误差上界相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（‰）(1)tRxxE∴1.2.3算术平均误差(averagediscrepancy)定义式：11nniiiixxdnn可以反映一组试验数据的误差大小ixx试验值与算术平均值之间的偏差id——1.2.4标准误差(standarderror)定义式：21()(n1)niixxSEn表示当前样本对总体数据的估计；表示样本均数与总体均数的相对误差；样本个数n越大，标准误越小，表明所抽取的样本能够较好地代表总体样本（1）定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时正时负，时大时小（2）产生的原因：偶然因素（3）特点：具有统计规律小误差比大误差出现机会多正、负误差出现的次数近似相等当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零可以通过增加试验次数减小随机误差随机误差不可完全避免的1.3.1随机误差（randomerror）1.3试验数据误差的来源及分类1.3.2系统误差（systematicerror）（1）定义：一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差（2）产生的原因：多方面（3）特点：系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值而减小只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进行校正，或设法消除。1.3.3过失误差（mistake）（1）定义：一种显然与事实不符的误差（2）产生的原因：实验人员粗心大意造成（3）特点：可以完全避免没有一定的规律1.4.1精密度（precision）（1）含义：反映了随机误差大小的程度在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度例：甲：11.45，11.46，11.45，11.44乙：11.39，11.45，11.48，11.50（2）说明：可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的试验过程足够精密，则只需少量几次试验就能满足要求1.4试验数据的精准度（3）精密度判断①极差（range）222111()()/nnniiiiiixxxxnnnmaxminRxx②标准差（standarderror，SD）222111()()/11nnniiiiiixxxxnsnnR↓，精密度↑标准差↓，精密度↑③方差（variance）标准差的平方：样本方差（s2）总体方差（σ2）方差↓，精密度↑④相对标准偏差（relativestandarddeviation，RSD）也称变异系数（coefficientofvariation，简称CV）定义式：()100%sRSDCVx或适用于两个或多个数据资料分散程度、变异程度或精密程度的比较例1-51.4.2正确度（correctness）（1）含义：反映系统误差的大小（2）正确度与精密度的关系：精密度不好，但当试验次数相当多时，有时也会得到好的正确度精密度高并不意味着正确度也高（a）（b）（c）1.4.3准确度（accuracy）（1）含义：反映了系统误差和随机误差的综合表示了试验结果与真值的一致程度（2）三者关系无系统误差的试验精密度：A＞B＞C正确度：A＝B＝C准确度：A＞B＞C有系统误差的试验精密度：A＇＞B＇＞C＇准确度：A＇＞B＇＞C＇，A＇＞B，CExcel在计算误差中的应用1.5.1随机误差的检验1.5试验数据误差的统计假设检验1.5.1.12检验（2-test）（1）目的：对试验数据的随机误差或精密度进行检验。在试验数据的总体方差2已知的情况下，（2）检验步骤：若试验数据12,,,nxxx服从正态分布，则①计算统计量2222(1)ns②查临界值2()df1dfn2服从自由度为的分布显著性水平——一般取0.01或0.05，表示有显著差异的概率双侧（尾）检验(two-sided/tailedtest)：222122③检验若则判断两方差无显著差异，否则有显著差异单侧（尾）检验(one-sided/tailedtest)：左侧（尾）检验22(1)()df则判断该方差与原总体方差无显著减小，否则有显著减小右侧（尾）检验22()df则判断该方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大若若（3）Excel在2检验中的应用22s（当时）22s（当时）1.5.1.2F检验(F-test)（1）目的：对两组具有正态分布的试验数据之间的精密度进行比较（2）检验步骤①计算统计量1(1)(1)(1)12,,,nxxx2(2)(2)(2)12,,,nxxx22s21s设有两组试验数据：都服从正态分布，样本方差分别为和和，则2122sFs111dfn221dfn第一自由度为第二自由度为服从F分布，②查临界值给定的显著水平α111dfn221dfn查F分布表临界值双侧（尾）检验(two-sided/tailedtest)：③检验若则判断两方差无显著差异，否则有显著差异1212(1)22(,)(,)FdfdfFFdfdf单侧（尾）检验(one-sided/tailedtest)：左侧（尾）检验（F＜1，即s12s22）：则判断该判断方差1比方差2无显著减小，否则有显著减小右侧（尾）检验（F＞1，即s12s22）则判断该方差1比方差2无显著增大，否则有显著增大若若(1)12(,)FFdfdf12(,)FFdfdf（3）Excel在F检验中的应用1.5.2系统误差的检验1.5.2.1t检验法（1）平均值与给定值比较①目的：检验服从正态分布数据的算术平均值是否与给定值有显著差异②检验步骤：计算统计量：0xtns服从自由度1dfn的t分布(t-distribution)0——给定值（可以是真值、期望值或标准值）双侧检验：若2tt则可判断该平均值与给定值无显著差异，否则就有显著差异单侧检验左侧检验00()txtt若,且则判断该平均值与给定值无显著减小，否则有显著减小右侧检验00()txtt若,且则判断该平均值与给定值无显著增大，否则有显著增大③Excel在单样本t检验中的应用（2）两个平均值的比较目的：判断两组服从正态分布数据的算术平均值有无显著差异①计算统计量：两组数据的方差无显著差异时121212xxnntsnn服从自由度122dfnn的t分布s——合并标准差：22112212(1)(1)2nsnssnn两组数据的精密度或方差有显著差异时12221212xxtssnn服从t分布，其自由度为：22211222222112212()2()()(1)(1)snsndfsnsnnn②t检验双侧检验：若2tt则可判断两平均值无显著差异，否则就有显著差异单侧检验左侧检验：120()txxtt若且则判断该平均值1较平均值2无显著减小，否则有显著减小右侧检验：120()txxtt若且则判断该平均值1较平均值2无显著增大，否则有显著增大③Excel在双样本t检验中的应用（3）成对数据的比较目的：试验数据是成对出现，判断两种方法、两种仪器或两分析人员的测定结果之间是否存在系统误差①计算统计量：0dddtns——成对测定值之差的算术平均值：d0d——零或其他指定值(1)(2)11nniiiiixxddnnds——n对试验值之差值的样本标准差：21()1niidddsn服从自由度为1dfn的t分布双侧检验：若2tt则可判断两平均值无显著差异，否则就有显著差异单侧检验左侧检验：120()txxtt若且则判断该平均值1较平均值2无显著减小，否则有显著减小右侧检验：120()txxtt若且则判断该平均值1较平均值2无显著增大，否则有显著增大③Excel在成对双样本t检验中的应用1.5.2.2秩和检验法（ranksumte