课件-2.1-等式性质与不等式性质-高中数学必修1(新教材同步课件)

等式性质与不等式性质情境导入长短大小轻重高矮在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，相等关系用等式来表示，不等关系用不等式来表示.情境导入问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？情境导入(1)设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h，则0v≤40;解：(2)f≥2.5%，p≥2.3%;(3)设三角形的三边为a,b,c，则va+bc,a-bc;(4)设C是线段AB外的任意一点，CD垂直AB于D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CDCE.DABCE归纳：以上的共性，就是根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式.接着，可以用不等式研究相应的实际问题.学科网原创情境导入问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？解：设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为元，2.58000020000.1xx于是不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为2.58000020002000000.1xx求出此不等式的解集就能知道满足条件的杂志的定价范围.情境导入疑惑如何解这个不等式呢？我们知道解方程2.5800002000=2000000.1xx需要用到等式的性质，解不等式就要用到不等式的性质，所以我们要研究不等式的性质.本节课我们在梳理等式性质的基础上，通过类比研究不等式的性质.本节内容属于基础、工具的作用，3星.情境导入知识海洋两个实数大小关系的基本事实,R,0;ababab??那么0;abab=?=0;abab?这个事实告诉我们，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.知识海洋重要不等式【探究】下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？HDGCFAEB知识海洋ab22ab+()2222214,2.2abababab骣÷ç++÷ç÷ç桫即知识海洋abHDGCFAEB222.abab+=知识海洋于是得到重要不等式：22,R,2,ababab??那么当且仅当a=b时，等号成立.因为(a2+b2)-2ab=(a-b)2≥0,当且仅当a=b时，等号成立.所以a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立.所以(a2+b2)-2ab≥0,证明方法一：学科网原创知识海洋因为任意实数的平方都非负，(a-b)2≥0,当且仅当a=b时，等号成立.所以a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立.所以a2+b2-2ab≥0,证明方法二：所以，对任意a,b∈R都有(a-b)2≥0,知识海洋不等式的性质1.等式性质：性质1：如果a=b，那么b=a性质2：如果a=b，b=c，那么b=c性质3：如果a=b，那么a±c=b±c性质4：如果a=b，那么ac=bc性质5：如果a=b，c≠0，那么ab=cc等式性质1，2反映了相等关系自身的特性性质3，4，5是从运算角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性.运算中的不变性就是性质.知识海洋2.不等式性质：等式性质不等式性质性质1：如果a=b，那么b=a性质1：abba性质2：如果a=b，b=c，那么a=c性质2：ab，bcac知识海洋下面给出不等式性质1的证明：（1）如果ab，那么a-b0;因为b-a和a-b互为相反数，所以b-a0，所以ba.（2）同理可证：如果ba，那么ab;综上，abba.知识海洋下面给出不等式性质2的证明：因为ab，bca-b0，b-c0;所以a-c=(a-b)+(b-c)0，所以a-c0，所以ac因为ab，bcac证明方法一：()()000abababbcbcbcü-ïï-+-ýï-ïþ0.acac-证明方法二：知识海洋等式性质不等式性质性质3：如果a=b，那么a±c=b±c性质3：aba+cb+c推论：a+bcac-b性质4：如果a=b，那么ac=bcab,c0acbc性质4：ab,c0acbcab,c=0ac=bc性质5：如果a=b，c≠0，那么ab=cc学科网原创知识海洋aba+cb+c1A1BABaba+cb+c1A1BAB把数轴上的两点A，B同时沿相同方向移动相等距离，得到另两点的左右位置关系不会改变.性质3，4的证明留给同学自己.由性质3可得如下结论：a+bcac-b知识海洋不等式的性质性质5：ab，cda+cb+d（同向可加）性质6：ab0，cd0ac=bc（同向皆正可乘）性质7：ab0anbn(n∈N,n≥2)（同向正可乘方）性质5，6，7的证明也留给同学自己.应用探究例1已知ab0，c0，求证：.ccab因为ab0，所以ab0，.10ab于是11??ababab即11ba由c0，得.ccab证明（方法一）：应用探究例1已知ab0，c0，求证：.ccab证明（方法二，作差比较法）：因为ab0，c0，所以，a0,b0，a-b0，ccab()---==cbacccbcaababab所以，ab0，b-a0，所以，()0-cbaab即，0-ccab所以，学科网原创应用探究例2已知b克糖水中含有a克糖（ba0），再添加m克糖（m0）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.解：b克糖水中含有a克糖（ba0）时，糖水的“甜度”为，ab再添加m克糖（m0）后，糖水的“甜度”为，a+mb+m因为“糖水变甜了”，所以，aa+mbb+m应用探究例2已知b克糖水中含有a克糖（ba0），再添加m克糖（m0）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.证明如下：（作差比较法）：因为ba0，m0，所以，b0，a-b0，b+m0()()()()()()----===ab+mba+mmabaa+mambmbb+mbb+mbb+mbb+m所以，aa+mbb+m所以，即，()()0-mabbb+m0-aa+mbb+m应用探究例3已知ab，求证：，并从代数和几何两个角度解释其含义.证明方法一：（作差比较法）因为ab，所以，a+ab+a，a+bb+b所以，2ab+a，a+b2b所以，2a+bab证明方法二：2a+ba所以，，2a+bb2a+bab学科网原创课堂小结（一）从知识层面说，学习了：（2）重要不等式；（3）不等式性质.（1）两个实数大小关系的基本事实；认识这些不等式的性质，要从以下四个角度考虑，有助于理解的深化：(1)符号表示(上述数学符号)；(2)文字语言（用汉语叙述）；(3)几何直观（配图解释，如数轴等）；(4)实际问题（赋予实际生活中的例子解释）课堂小结（二）解题方法角度说，学习了比较大小的通法：（2）利用不等式性质进行演绎推理；（3）两种方法融合.（1）做差比较；课堂小结（三）得到不等式性质的思维方法角度说，学习了（1）数形结合；（2）类比推理（类比推理得到的结论不一定正确，若说正确，需要理论证明）.学科网原创课堂小结