2.1-等式性质与不等式性质-课件-人教A版高中数学必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1m(含1.1m)而不超过1.5m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5m时应买全价票．每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？情景导学不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“”、“”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式。文字语言大于、高于、超过、多于小于、低于、少于大于等于、至少、不低于小于等于、至多、不多于、不超过符号语言≥≤用不等号表示不等关系的式子。不等式:在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和不等关系,例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等.类似于这样的问题,反映在数量关系上,就是相等与不等.相等用等式表示,不等用不等式表示．§2.1等式性质与不等式性质§2.1等式性质与不等式性质问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?(1)某路段限速40km/h;(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量犳应不少于2.5%,蛋白质的含量狆应不少于2.3%;(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边;(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．§2.1等式性质与不等式性质问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?(1)某路段限速40km/h;(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%;设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h,“限速40km/h”就是v的大小不能超过40,于是0v≤402.5%,2.3%fp由题意得§2.1等式性质与不等式性质问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边;(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．设△ABC的三条边为a,b,c,则a+bc,a-bc你能写出其他的可能情况吗?如图,设C是线段AB外的任意一点,CD垂直于AB,垂足为D,E是线段AB上不同于D的任意一点,则CD＜CE．ABCDE§2.1等式性质与不等式性质问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?2580201xx.(.).万元于是,不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为设提价后每本杂志的定价为x元,则销售总收入为258022001xx.(.).求出不等式的解集,就能知道满足条件的杂志的定价范围§2.1等式性质与不等式性质如何解不等式呢?与解方程要用等式的性质一样,解不等式要用不等式的性质.为此,我们需要先研究不等式的性质.实际上,在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么,这些性质为什么是正确的?还有其他不等式的性质吗?回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．§2.1等式性质与不等式性质由于数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系:如图,设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时,a＜b;当点A在点B的右边时,a＞b．abababxxbaBAAB思考1:实数可以比较大小,对于两个实数a,b,其大小关系有哪几种可能?a＞b,a=b,a＜b思考2:任何一个实数都对应数轴上的一个点,那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何?大数对应的点位于小数对应的点的右边不等式基本原理§2.1等式性质与不等式性质a-b=0a=ba-b＞0a＞b思考3:如果两个实数的差是正数,那么这两个实数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语言描述这个原理?思考4:如果两个实数的差等于零,那么这两个实数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语言描述这个原理?§2.1等式性质与不等式性质思考5:如果两个实数的差是负数,那么这两个实数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语言描述这个原理?a-b＜0a＜b不等式基本原理000abaabaababbb比较两个实数大小的方法——作差法§2.1等式性质与不等式性质§2.1等式性质与不等式性质关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实：如果a-b是正数,那么a＞b;如果a-b等于０,那么a=b;如果a-b是负数,那么a＜b.反过来也对.这个基本事实可以表示为:a-b＞0a＞ba=ba-b=0a＜ba-b＜0不等式基本原理从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与０的大小．§2.1等式性质与不等式性质比较两数(式)的大小的最基本和首选的方法：(2)(3)(1)(4).xxxx比较与例的大小1解:(2)(3)(1)(4)xxxx因为22(56)(54)xxxx20比较两个数(式)的大小的方法:作差,与零比较大小.分析:通过考察这两个多项式的差与０的大小关系,可以得出它们的大小关系．(2)(3)(1)(4)xxxx所以§2.1等式性质与不等式性质1、已知x1,比较x3+6x与x2+6的大小．解：∵(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)∵x1∴(x－1)(x2＋6)0∴x3＋6xx2＋6§2.1等式性质与不等式性质2111,.aMaaNaa、已知试比较和的大小MN第二章一元二次函数、方程和不等式§2.1等式性质与不等式性质探究:如右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗?问题1:这会标中含有哪些几何图形?问题2:你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系?,直角三角形正方形§2.1等式性质与不等式性质BACDHEFGab22ab问题3:四个三角形的总的面积是多少?外部的正方形ABCD的面积是多少?问题4:你能从左图中从面积的角度比较这两个数的大小吗?222,abab222abab§2.1等式性质与不等式性质BACDHEFGab22ab问题5:当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有三角形的面积和与正方形的面积之间有何关系?222=abab§2.1等式性质与不等式性质BACDHEFGab22ab222abab§2.1等式性质与不等式性质问题6:上面的两个数是否有可能相等?如果有,请说明a,b之间的关系?问题7:通过前面图形的变化观察得到a2+b2≥2ab,请问对任意实数a,b都成立吗?你能证明吗?222=:+abab证明222+abab2()ab0ab当且仅当时取等号.§2.1等式性质与不等式性质一般地,对于任意实数a、b,我们有当且仅当a=b时,等号成立.222abab重要不等式§2.1等式性质与不等式性质§2.1等式性质与不等式性质思考:请你先梳理等式的基本性质,再观察它们的共性.你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗?运算中的不变性就是性质．等式有下面的基本性质：性质1如果a=b,那么b=a;性质2如果a=b,b=c,那么a=c;性质3如果a=b,那么a±c=b±c；性质4如果a=b,那么ac=bc;性质5如果a=b,c≠0,那么．abcc§2.1等式性质与不等式性质探究:类比等式的基本性质,你能猜想不等式的基本性质,并加以证明吗？性质1(对称性):如果ab,那么ba;如果ba,那么ab.即abba性质2(传递性):如果ab,bc,那么ac.即,abbcac§2.1等式性质与不等式性质性质2(传递性)的证明00ababbcbc()()0abbc0acac00ababbcbc§2.1等式性质与不等式性质性质3(可加性):如果ab,那么a+cb+c.不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向.()()abcabbcbacb不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.不等式的性质§2.1等式性质与不等式性质性质4(可乘性):如果ab,c0,那么acbc.如果ab,c0,那么acbc.性质5(同向可加性):如果ab,cd,那么a+cb+d.性质6(同向同正可乘性):如果ab0,cd0,那么acbd.两边都是正数的同向不等式相乘，所得的不等式和原不等式同向.两个同向不等式相加,所得不等式与原不等式同向.不等式的性质§2.1等式性质与不等式性质当不等式的两边都是正数时,不等式的两边同时乘方所得得不等式和原不等式同向.性质7(可乘方性):0,,(,1)nnababnNn如果那么性质8(可开方性):0,,(,2)nnababnNn如果那么当不等式的两边都是正数时,不等式的两边同时开方所得得不等式和原不等式同向.不等式的性质§2.1等式性质与不等式性质020,,.ccabcab证明：例已知,0,11,0113,.cccabababab要证明因为所以可以先证明利用已知和性质即可证明分析§2.1等式性质与不等式性质020,,.ccabcab证明：例已知1:0,0,0ababab因为所以证明11ababab于是11ba即0,.cccab由得1、已知ab,cd,且c、d不为0,那么下列不等式成立的是()A、adbcB、acbcC、a-cb-dD、a+cb+dD§2.1等式性质与不等式性质2、下列命题中正确的是()A、若ab,则ac2bc2B、若ab,cd,则a+cb+d110C,,ababab则、若D,,ababcdcd则、若C§2.1等式性质与不等式性质3、下列命题中正确的个数是()A、1B、2C、3D、42011011,||||;,,,;,;,.yzxyyzababcdabcdcdabbabbbabaax①若则②则③若则④若则A§2.1等式性质与不等式性质4、下列不等式中正确的是()2222110A,;B,,;C,;D,,.bacbcabbcdcdacbcababababaa、若则、若则、若那么、若则C§2.1等式性质与不等式性质5、下列命题正确的是()B22223322,;||,;,;|,.abacbcabababababab①则②则③则④|则A、①②B、②③C、③④D、①④§2.1等式性质与不等式性质