高考数学考点练习第七章平面解析几何单元质量测试文

单元质量测试(七)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．直线3x＋3y－1＝0的倾斜角大小为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案C解析∵k＝－33＝－3，∴α＝120°.2．“a＝2”是“直线y＝－ax＋2与y＝a4x－1垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由a＝2得两直线斜率满足(－2)×24＝－1，即两直线垂直；由两直线垂直得(－a)×a4＝－1，解得a＝±2，故选A.3．圆锥曲线x2m2＋5＋y2m2－4＝1的焦距是()A．3B．6C．3或2m2＋1D．6或22m2＋1答案B解析当m2－40，则方程的曲线为椭圆，a2＝m2＋5，b2＝m2－4，从而c2＝a2－b2＝9，∴椭圆的焦距为2c＝6.当m2－40，则方程的曲线为双曲线，其中a2＝m2＋5，b2＝4－m2，从而c2＝a2＋b2＝9，∴双曲线的焦距也是6.故正确选项为B.4．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()A．至多一个B．2C．1D．0答案B解析由直线和圆没有交点可得：4m2＋n22，整理得m2＋n24，故点P(m，n)必在椭圆内，于是过点P的直线与椭圆必有两个交点．5．[2016·湖南六校联考]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为()A.x216－y29＝1B.x23－y24＝1C.x29－y216＝1D.x24－y23＝1答案C解析以F1，F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，又因为点(3,4)在圆上，所以32＋42＝c2，所以c＝5，双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，且点(3,4)在这条渐近线上，所以ba＝43，又a2＋b2＝c2＝25，解得a＝3，b＝4，所以双曲线的方程为x29－y216＝1，故选C.6．[2015·四川高考]过双曲线x2－y23＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝()A.433B．23C．6D．43答案D解析双曲线x2－y23＝1的右焦点为F(2,0)，其渐近线方程为3x±y＝0.不妨设A(2,23)，B(2，－23)，所以|AB|＝43，故选D.7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则弦AB的中点M到抛物线准线的距离为()A.52B.72C．2D．3答案B解析由题设可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.又由抛物线定义知，|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为52，因此点M到抛物线准线的距离为52＋1＝72.8．F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左右两个焦点，P是右支上的动点，过F2作∠F1PF2平分线的垂线，交PF1于M，交角平分线于Q，则Q点轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案A解析∵PQ是∠F1PF2的平分线且PQ⊥MF2，∴|PM|＝|PF2|，且Q是MF2的中点．∴|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PM|＝|MF1|＝2a.∴|OQ|＝a，∴选A.9．[2017·湖南岳阳模拟]已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点．若|PQ|＝23，则直线l的方程为()A．x＝－1或4x＋3y－4＝0B．x＝－1或4x－3y＋4＝0C．x＝1或4x－3y＋4＝0D．x＝1或4x＋3y－4＝0答案B解析当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由|PQ|＝23，则圆心C到直线l的距离d＝|－k＋3|k2＋1＝1，解得k＝43，此时直线l的方程为y＝43(x＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.10．[2017·河北承德质检]椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的()A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍答案A解析由题设知F1(－3,0)，F2(3,0)，如图，∵线段PF1的中点M在y轴上，∴可设P(3，b)，把P(3，b)代入椭圆x212＋y23＝1，得b2＝34.∴|PF1|＝36＋34＝732，|PF2|＝0＋34＝32.∴|PF1||PF2|＝73232＝7.故选A.11．[2016·山西四校联考]过曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F1作曲线C2：x2＋y2＝a2的切线，设切点为M，直线F1M交曲线C3：y2＝2px(p0)于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为()A.5B.5－1C.5＋1D.5＋12答案D解析设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为(c,0)．由题意知F2也是C3的焦点，所以C3：y2＝4cx.连接OM，NF2，因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F2的中位线，所以OM∥NF2.因为|OM|＝a，所以|NF2|＝2a.又NF2⊥NF1，|F1F2|＝2c，所以|NF1|＝2b.设N(x，y)，则由抛物线的定义可得|NF2|＝x＋c＝2a，所以x＝2a－c.过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a，由y2＋4a2＝4b2，即4c(2a－c)＋4a2＝4(c2－a2)，得e2－e－1＝0，解得e＝5＋12(负值舍去)，故选D.12．已知直线y＝k(x＋1)(k0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.13B.223C.23D.23答案B解析抛物线C：y2＝4x的准线为l：x＝－1，直线y＝k(x＋1)(k0)恒过定点P(－1，0)．如图，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N.由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点，连接OB，则|OB|＝12|AF|，∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为12，故点B的坐标为12，2，P(－1,0)．∴k＝2－012＋1＝223.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若k∈R，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交点，则实数a的取值范围是________．答案[－1,3]解析因为直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，则02＋12－2a·0＋a2－2a－4≤0且2a＋40，解得－1≤a≤3.14．[2016·河南郑州模拟]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．答案2解析由题意设F(c,0)，相应的渐近线方程为y＝bax，根据题意得kPF＝－ab，设Px，bax，代入kPF＝－ab得x＝a2c，则Pa2c，abc，则线段PF的中点为12a2c＋c，ab2c，代入双曲线方程得14ac＋ca2－14ac2＝1，即141e＋e2－14·1e2＝1，∴e2＝2，∴e＝2.15．[2016·河南洛阳统考]已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．答案x＝－2解析将双曲线方程化为标准方程得x2a2－y23a2＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联立x2a2－y23a2＝1，y2＝8ax，解得x＝3a，即点P的横坐标为3a.而由|PF1|＋|PF2|＝12，|PF1|－|PF2|＝2a，解得|PF2|＝6－a，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，解得a＝1，∴抛物线的准线方程为x＝－2.16．[2017·广西南宁模拟]设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k0)与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若ED→＝6DF→，则k的值为________．答案23或38解析依题意得椭圆的方程为x24＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k0)．如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，则x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝21＋4k2.由ED→＝6DF→，知x0－x1＝6(x2－x0)，得x0＝17(6x2＋x1)＝57x2＝1071＋4k2.由D在直线AB上，知x0＋2kx0＝2，x0＝21＋2k，所以21＋2k＝1071＋4k2，化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝23或k＝38.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)P为圆A：(x＋1)2＋y2＝8上的动点，点B(1,0)．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P在第一象限，且cos∠BAP＝223时，求点M的坐标．解(1)圆A的圆心为A(－1,0)，半径等于22.由已知|MB|＝|MP|，于是|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝22，故曲线Γ是以A，B为焦点，以22为长轴长的椭圆，a＝2，c＝1，b＝1，曲线Γ的方程为x22＋y2＝1.(2)由cos∠BAP＝223，|AP|＝22，得P53，223.于是直线AP方程为y＝24(x＋1)．由x22＋y2＝1，y＝24x＋，解得5x2＋2x－7＝0，x1＝1，x2＝－75.由于点M在线段AP上，所以点M坐标为1，22.18．[2015·全国卷Ⅱ](本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．解(1)由题意有a2－b2a＝22，4a2＋2b2＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为x28＋y24＝1.(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入x28＋y24＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝x1＋x22＝－2kb2k2＋1，yM＝k·xM＋b＝b2k2＋1.于是直线OM的斜率kOM＝yMxM＝－12k，即kOM·k＝－12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．19．(本小题满分12分)如图，BC是半圆的直径，O是圆心，OA是与BC垂直的圆的半径，P为半圆上一点(P与A、B、C不重合)．过P向BC作垂线，垂足为Q，OP和AQ的交点为M.试问：当P移动时，M的轨迹是怎样的曲线？说明理由．解如图，过A作BC的平行线l，分别过P、M作l的垂线，垂足为G、H.设圆的半径长为r，则|OP|＝|QG|＝r.∵QP∥OA∥MH，∴|OM||OP|＝|AH||AG|，|MH||QG|＝|AH||AG|，∴|OM|r＝|MH|r，∴|OM|＝|MH|，∴M在以O为焦点、以l为准线的抛物线上．∵P与A、B、C不重合，∴M不在OA、BC上．∴M必在圆的内部，∴M的轨迹是以O为焦点、以l为准线的抛物线(去掉抛物线的顶点)在圆内的部分，如图所示．20．[2017·衡水中学调研](本小题满分12分)已知抛物线C：