高中导数小题整理(含答案)

导数的概念及简单应用[小题提速练][明晰考情]本内容是高考命题的热点内容．在选择、填空题中，若考查导数的几何意义，难度较小；若考查应用导数研究函数的单调性、极值、最值，一般在选择题、填空题最后的位置，难度较大．题组一导数的几何意义要点重组(1)函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．1．已知f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝ln(－x)＋x，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为()A．1B．－1C．0D．－12答案C解析当x0时，－x0，则f(－x)＝ln[－(－x)]－x＝lnx－x，又f(x)为奇函数，所以当x0时，f(x)＝－f(－x)＝x－lnx.当x0时，f′(x)＝1－1x，所以f′(1)＝0，即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为0.2．(2019·合肥质检)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切，则实数a的值是()A.12B．1C．2D．e答案B解析由题意知y′＝aex＋1＝2，则a0，x＝－lna，代入y＝aex＋x，得y＝1－lna，所以切线方程为y－(1－lna)＝2(x＋lna)，即y＝2x＋lna＋1＝2x＋1，所以a＝1.3．(2019·全国Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．答案y＝3x解析因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.4．若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.答案1－ln2解析y＝lnx＋2的切线为y＝1x1·x＋lnx1＋1(设切点横坐标为x1)．y＝ln(x＋1)的切线为y＝1x2＋1x＋ln(x2＋1)－x2x2＋1(设切点横坐标为x2)，∴1x1＝1x2＋1，lnx1＋1＝lnx2＋1－x2x2＋1，解得x1＝12，x2＝－12，∴b＝lnx1＋1＝1－ln2.题组二导数与函数的单调性要点重组(1)求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)0或f′(x)0即可．(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．5．已知函数f(x)＝－lnx＋12x2＋5，则其单调递增区间为()A．(0,1]B．[0,1]C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)答案D解析由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为f(x)＝－lnx＋12x2＋5，所以f′(x)＝－1x＋x＝x2－1x，由f′(x)0，得x－1或x1，又x0，所以x1，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．6．已知定义在R上的函数f(x)＝13ax3＋x2＋ax＋1有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．[－1,0)∪(0,1]C．(－1,1)D．(－1,0)∪(0,1)答案D解析根据题意，函数f(x)＝13ax3＋x2＋ax＋1，其导函数f′(x)＝ax2＋2x＋a.若函数f(x)＝13ax3＋x2＋ax＋1有三个不同的单调区间，则f′(x)＝ax2＋2x＋a有2个不同零点，则有Δ＝4－4a20，且a≠0，可得－1a1，且a≠0，即实数a的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．7．已知f(x)＝(x2＋2ax)lnx－12x2－2ax在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是()A．{1}B．{－1}C．(0,1]D．[－1,0)答案B解析因为f′(x)＝2(x＋a)lnx，所以f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，当x＝1时，f′(x)＝0满足题意；当x1时，lnx0，要使f′(x)≥0恒成立，只需x＋a≥0恒成立，因为x＋a1＋a，所以1＋a≥0，解得a≥－1；当0x1时，lnx0，要使f′(x)≥0恒成立，只需x＋a≤0恒成立，因为x＋a1＋a，所以1＋a≤0，解得a≤－1，综上所述，a＝－1.8．(2019·衡水中学调研)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)内的偶函数f(x)满足：当x0时，xf(x)＋x2f′(x)－1＝0，且f(e)＝1e，则不等式f(x)＋ln40的解集为()A.－12，0∪0，12B.－∞，－12∪12，＋∞C．(－e,0)∪(0，e)D．(－∞，－e)∪(e，＋∞)答案B解析当x0时，xf(x)＋x2f′(x)－1＝0，故f(x)＋xf′(x)＝1x，故[xf(x)]′＝1x，故可设xf(x)＝lnx＋c，因为f(e)＝1e，所以c＝0，故f(x)＝lnxx，则f′(x)＝1－lnxx2，所以当x∈(0，e)时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递减，又f(x)为偶函数，f12＝－ln4且当x→＋∞时，f(x)0，所以不等式f(x)＋ln40的解集为－∞，－12∪12，＋∞.题组三导数与函数的极值、最值要点重组(1)求函数f(x)的极值，需先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较，得到函数的最值．9．(2017·全国Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1答案A解析函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点，得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．由ex－1＞0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.10．已知函数f(x)＝lnx＋2ex2，g(x)＝x3＋kx(k∈R)，若函数y＝f(x)－g(x)只有1个零点，则函数g(x)在[0，e]上的最大值为()A．0B．e3＋1C．2e3＋1eD．2e3＋1答案D解析由题意可知方程lnx＋2ex2＝x3＋kx只有1个实数根，因为x0，所以lnxx＋2ex－x2＝k.令h(x)＝lnxx＋2ex－x2，则h′(x)＝1－lnxx2＋2e－2x＝1－lnxx2＋2(e－x)，令h′(x)＝0，解得x＝e，故当x∈(0，e)时，h′(x)0，当x∈(e，＋∞)时，h′(x)0，所以h(x)max＝h(e)＝1e＋e2，又方程lnxx＋2ex－x2＝k只有1个实数根，所以函数h(x)的图象与直线y＝k只有1个交点，所以1e＋e2＝k，故g(x)＝x3＋1e＋e2x，g′(x)＝3x2＋1e＋e20，故函数g(x)在[0，e]上是增函数，g(x)max＝g(e)＝2e3＋1.11．(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．答案－332解析f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．∵cosx＋1≥0，∴当cosx＜12时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当cosx＞12时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，∴当cosx＝12时，f(x)有最小值．又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，∴当sinx＝－32时，f(x)有最小值，即f(x)min＝2×－32×1＋12＝－332.12．(2018·江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．答案－3解析f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(x＞0)．①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1，∴f(x)在(0，＋∞)上无零点，不合题意．②当a＞0时，由f′(x)＞0，解得x＞a3，由f′(x)＜0，解得0＜x＜a3，∴f(x)在0，a3上单调递减，在a3，＋∞上单调递增．又f(x)只有一个零点，∴fa3＝－a327＋1＝0，∴a＝3.此时f(x)＝2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x－1)，当x∈[－1,1]时，f(x)在[－1,0]上单调递增，在(0,1]上单调递减．又f(1)＝0，f(－1)＝－4，f(0)＝1，∴f(x)max＋f(x)min＝f(0)＋f(－1)＝1－4＝－3.1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则ab的值为()A．－23B．－2C．－2或－23D．2或－23答案A解析由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即3＋2a＋b＝0，1＋a＋b－a2－7a＝10，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.经检验a＝－6，b＝9满足题意，故ab＝－23.易错提醒本题容易出错在解出a，b的值后，不去验证，错选了C.2．若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_____________．答案(－∞，2ln2－2)解析因为函数f(x)＝x2－ex－ax，所以f′(x)＝2x－ex－a.因为函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，所以f′(x)＝2x－ex－a0有解，即a2x－ex有解．令g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，由g′(x)＝2－ex＝0，得x＝ln2，由g′(x)＝2－ex0，得xln2，由g′(x)＝2－ex0，得xln2，所以当x＝ln2时，g(x)max＝2ln2－2.所以a2ln2－2.故实数a的取值范围是(－∞，2ln2－2)．易错提醒已知函数存在单调区间求参数的取值范围问题是存在性问题，其转化方法为：若f(x)存在单调递减区间，则f′(x)0在给定区间上有解；若f(x)存在单调递增区间，则f′(x)0在给定区间上有解．注意将其与“函数的单调区间”“函数在区间上单调”的转化方法区别开来．1．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线方程是()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0答案C解析f(0)＝e0cos0＝1，因为f′(x)＝excosx－exsinx，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.2．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()A．a－3B．a－3C．a－13D．a－13答案B解析由题意知y′＝aeax＋3＝0在(0，＋∞)上有解，即aeax＝－3，因为eax0，所以a0，又当a0时，0eax1，要使aeax＝－3，则a－3.3．已知函数f(x)＝13x3－12mx2＋4x－3在区间[1,2]上是增函数，则实数m的取值范围为()A．4≤m≤5B．2≤m≤4C．m≤2D．m≤4答案D解析由函数f(x)＝13x3－12mx2＋4x－3，可得f′(x)＝x2－mx＋4，由函数f(x)＝13x3－12mx2＋4x－3在区间[1,2]上是增函数，可得x2－mx＋4≥0在区